Problema 15 Mostre que o campo de velocidade de um vórtice pontual é dado por v_{x}- i v_{y}=\frac{\mathrm{r}}{2 \pi i z}. Encontre o potencial complexo correspondente.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • Mostrar que o campo de velocidade de um vórtice pontual pode ser escrito como \;v_{x}- i v_{y}=\dfrac{\mathrm{r}}{2\pi i z}\;, onde \mathrm{r} é a intensidade da circulação do vórtice e z=x+ i y é a coordenada complexa no plano.
  • Encontrar o potencial complexo correspondente (ou seja, uma função w(z) tal que w'(z)=v_x-i v_y).
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • Há um vórtice pontual fixo na origem com circulação \mathrm{r}.
  • A velocidade é puramente tangencial em torno da origem (não há componente radial).

Passo 2

Vamos primeiro lembrar a relação entre potencial complexo e velocidade, explicando com calma.
  • O potencial complexo é uma função w(z) que escrevemos como \;w(z)=\varphi(x,y)+ i\psi(x,y)\;, onde \varphi é o potencial de velocidade (potencial de velocidade escalar) e \psi é a corrente (streamfunction).
  • A relação entre w e as componentes da velocidade (v_x,v_y) é
w'(z)=\frac{dw}{dz}=v_x - i v_y.
Isso vem das relações de Cauchy–Riemann e da identificação padrão do fluxo potencial: \phi_x=v_x, \phi_y=v_y, \psi_x=-v_y, \psi_y=v_x. Portanto, se obtivermos v_x e v_y podemos identificar w'(z) e integrar para achar w(z).

Passo 3

Agora determinamos o campo de velocidade de um vórtice pontual usando a definição física da circulação.
  • Considere uma circunferência de raio r centrada na origem. Para um vórtice pontual a velocidade é puramente tangencial e a circulação total ao redor da origem é \mathrm{r}. A circulação é definida por
\Gamma=\oint \mathbf{v}\cdot d\mathbf{\ell}.
  • Num círculo de raio r a velocidade tangencial (que chamarei de v_\theta) é constante ao longo da circunferência, e |d\mathbf{\ell}|=r\,d\theta. Assim
\Gamma=\int_{0}^{2\pi} v_\theta \, r\, d\theta = v_\theta \, r \, (2\pi).
  • Daí segue
v_\theta=\frac{\Gamma}{2\pi r}.
(Aqui usei \Gamma=\mathrm{r} do enunciado; portanto v_\theta=\dfrac{\mathrm{r}}{2\pi r}=\dfrac{\mathrm{r}}{2\pi r}. Para evitar ambiguidade entre o raio r e a circulação \mathrm{r}, a notação do enunciado usa \mathrm{r} para circulação; na prática, escrevo explicitamente quando necessário.)
Para converter para componentes cartesianas, use as bases polares:
\mathbf{e}_r=(\cos\theta,\sin\theta),\qquad \mathbf{e}_\theta =(-\sin\theta,\cos\theta).
Como v_r=0 e v_\theta=\dfrac{\mathrm{r}}{2\pi r}, as componentes cartesianas são
v_x = -v_\theta \sin\theta = -\frac{\mathrm{r}}{2\pi r}\sin\theta,\qquad v_y = v_\theta \cos\theta = \frac{\mathrm{r}}{2\pi r}\cos\theta.
Agora escrevemos \sin\theta=\dfrac{y}{r} e \cos\theta=\dfrac{x}{r} (aqui r=\sqrt{x^2+y^2} é o raio). Substituindo,
v_x = -\frac{\mathrm{r}}{2\pi}\frac{y}{r^{2}},\qquad v_y = \frac{\mathrm{r}}{2\pi}\frac{x}{r^{2}}.

Passo 4

Mostramos agora que estas componentes dão a forma complexa indicada pelo enunciado.
  • Escreva z=x+ i y. Então
\frac{1}{z}=\frac{x- i y}{x^{2}+y^{2}}=\frac{x- i y}{r^{2}}.
  • Calcule v_x - i v_y usando as expressões anteriores:
v_x - i v_y = -\frac{\mathrm{r}}{2\pi}\frac{y}{r^{2}} - i\frac{\mathrm{r}}{2\pi}\frac{x}{r^{2}} = -\frac{\mathrm{r}}{2\pi}\frac{y + i x}{r^{2}}.
  • Manipulando a expressão \dfrac{\mathrm{r}}{2\pi i z}:
\frac{\mathrm{r}}{2\pi i z} = \frac{\mathrm{r}}{2\pi}\cdot\frac{1}{i}\cdot\frac{x- i y}{r^{2}} = \frac{\mathrm{r}}{2\pi}\cdot(-i)\cdot\frac{x- i y}{r^{2}} = -\frac{\mathrm{r}}{2\pi}\frac{i x + y}{r^{2}} = -\frac{\mathrm{r}}{2\pi}\frac{y + i x}{r^{2}}.
  • As duas expressões coincidem, logo
v_x - i v_y = \frac{\mathrm{r}}{2\pi i z}.
Isso mostra a fórmula pedida.

Passo 5

Agora encontramos o potencial complexo correspondente integrando w'(z)=v_x-i v_y.
  • Como vimos, w'(z)=\dfrac{\mathrm{r}}{2\pi i z}. Integramos em z:
w(z)=\int w'(z)\,dz = \int \frac{\mathrm{r}}{2\pi i z}\,dz = \frac{\mathrm{r}}{2\pi i}\ln z + C,
onde C é constante complexa de integração e \ln z=\ln r + i\theta é o logaritmo complexo (multivalorado).
  • Podemos separar partes real e imaginária para identificar \varphi e \psi. Usando \ln z=\ln r + i\theta,
w(z)=\frac{\mathrm{r}}{2\pi i}(\ln r + i\theta)+C = \frac{\mathrm{r}}{2\pi}\theta - i\frac{\mathrm{r}}{2\pi}\ln r + C.
Portanto, escolhendo C convenientemente, uma escolha natural de potencial e corrente é
\varphi(x,y)=\frac{\mathrm{r}}{2\pi}\theta,\qquad \psi(x,y)=-\frac{\mathrm{r}}{2\pi}\ln r.
  • Observação importante (didática): \ln z é multivalorado porque \theta é definido módulo 2\pi; isso representa a descontinuidade angular (branch cut) típica do vórtice pontual. Em aplicações físicas escolhe-se uma ramificação (por exemplo a principal) para trabalhar.

Passo 6

Resumo final e observação prática:
  • Mostramos diretamente transformando as componentes polares para cartesianas e manipulando a expressão complexa que v_x-i v_y=\dfrac{\mathrm{r}}{2\pi i z}.
  • Ao integrar essa derivada obtemos o potencial complexo
    \;w(z)=\dfrac{\mathrm{r}}{2\pi i}\ln z + C\;, cuja parte real dá o potencial de velocidade e a parte imaginária (até sinal) dá a streamfunction do vórtice.

Resposta

v_{x}- i v_{y}=\dfrac{\mathrm{r}}{2\pi i z}\n
w(z)=\dfrac{\mathrm{r}}{2\pi i}\ln z + C

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