Problema 15 Mostre que o campo de velocidade de um vórtice pontual é dado por
. Encontre o potencial complexo correspondente.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- Mostrar que o campo de velocidade de um vórtice pontual pode ser escrito como
, onde é a intensidade da circulação do vórtice e é a coordenada complexa no plano. - Encontrar o potencial complexo correspondente (ou seja, uma função
tal que ).
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- Há um vórtice pontual fixo na origem com circulação
. - A velocidade é puramente tangencial em torno da origem (não há componente radial).
Passo 2
Vamos primeiro lembrar a relação entre potencial complexo e velocidade, explicando com calma.
- O potencial complexo é uma função
que escrevemos como , onde é o potencial de velocidade (potencial de velocidade escalar) e é a corrente (streamfunction). - A relação entre
e as componentes da velocidade é
Isso vem das relações de Cauchy–Riemann e da identificação padrão do fluxo potencial:
,
,
,
. Portanto, se obtivermos
e
podemos identificar
e integrar para achar
.
Passo 3
Agora determinamos o campo de velocidade de um vórtice pontual usando a definição física da circulação.
- Considere uma circunferência de raio
centrada na origem. Para um vórtice pontual a velocidade é puramente tangencial e a circulação total ao redor da origem é . A circulação é definida por
- Num círculo de raio
a velocidade tangencial (que chamarei de ) é constante ao longo da circunferência, e . Assim
- Daí segue
(Aqui usei
do enunciado; portanto
. Para evitar ambiguidade entre o raio
e a circulação
, a notação do enunciado usa
para circulação; na prática, escrevo explicitamente quando necessário.)
Para converter para componentes cartesianas, use as bases polares:
Como
e
, as componentes cartesianas são
Agora escrevemos
e
(aqui
é o raio). Substituindo,
Passo 4
Mostramos agora que estas componentes dão a forma complexa indicada pelo enunciado.
- Escreva
. Então
- Calcule
usando as expressões anteriores:
- Manipulando a expressão
:
- As duas expressões coincidem, logo
Isso mostra a fórmula pedida.
Passo 5
Agora encontramos o potencial complexo correspondente integrando
.
- Como vimos,
. Integramos em :
onde
é constante complexa de integração e
é o logaritmo complexo (multivalorado).
- Podemos separar partes real e imaginária para identificar
e . Usando ,
Portanto, escolhendo
convenientemente, uma escolha natural de potencial e corrente é
- Observação importante (didática):
é multivalorado porque é definido módulo ; isso representa a descontinuidade angular (branch cut) típica do vórtice pontual. Em aplicações físicas escolhe-se uma ramificação (por exemplo a principal) para trabalhar.
Passo 6
Resumo final e observação prática:
- Mostramos diretamente transformando as componentes polares para cartesianas e manipulando a expressão complexa que
. - Ao integrar essa derivada obtemos o potencial complexo
, cuja parte real dá o potencial de velocidade e a parte imaginária (até sinal) dá a streamfunction do vórtice.