Problema 5 Descreva a superfície de Riemann da funçio f(z)=\left(z^{2}-1\right)^{1 / 3}.

Passo 1

O enunciado pede: descrever a superfície de Riemann da função f(z)=\left(z^{2}-1\right)^{1/3}.
Informações dadas (explícitas no enunciado):
  • A função multivalorada é f(z)=(z^{2}-1)^{1/3}.
  • A relação algébrica correspondente é w^{3}=z^{2}-1 se escrevermos w=f(z).
O que vamos precisar entregar (o que significa “descrever”):
  • identificar os pontos de ramificação (branch points) no plano z;
  • dizer quantas folhas (sheets) a superfície tem e como elas se conectam (monodromia);
  • apresentar o modelo compacto (fechamento projetivo) da superfície e calcular seu gênero topológico;
  • dar uma descrição global intuitiva (por exemplo: é uma curva elíptica / toro?) e como montar a superfície a partir de folhas e cortes.

Passo 2

Transformar o problema em geometria: a superfície de Riemann associada a f pode ser vista como o conjunto de pares (z,w)\in\mathbb{C}^{2} que satisfazem
w^{3}=z^{2}-1.
Este conjunto (a curva afim) com a projeção natural \pi:(z,w)\mapsto z é uma cobertura do plano z (exceto nos pontos especiais), e a superfície de Riemann é justamente a folha conectada onde w varia analiticamente sobre z. Assim a descrição da superfície passa por estudar a equação algébrica acima, os pontos onde a projeção deixa de ser localmente bijetiva (ramificações) e o comportamento no infinito.
Explicação didática: pensar em w^{3}=z^{2}-1 é como pensar em três cópias do plano z (três folhas), uma para cada valor possível de w dado um z genérico. Quando z varia ao redor de um ponto de ramificação, os três valores de w permutam entre si; a forma dessa permutação (ciclo de comprimento 3, por exemplo) define como as folhas se conectam.

Passo 3

Encontrar os pontos de ramificação finitos. Ramificação acontece quando as três folhas colidem, ou seja quando a relação e sua derivada em w implicam multiplicidade. Para a curva F(z,w)=w^{3}-z^{2}+1=0 usamos a condição clássica: pontos ramificados sob \pi ocorrem quando \partial F/\partial w=0 e F=0 (pontos críticos da projeção).
Calculemos:
\frac{\partial F}{\partial w}=3w^{2}.
Logo \partial F/\partial w=0 implica w=0. Substituindo em F=0 obtemos
0^{3}-z^{2}+1=0\quad\Rightarrow\quad z^{2}=1\quad\Rightarrow\quad z=\pm 1.
Portanto os pontos de ramificação finitos são z=1 e z=-1, e em ambos os casos o ponto na superfície corresponde a w=0.
Explicação da ordem de ramificação (local): perto de z_{0}\in\{\pm1\} podemos escrever z-z_{0} em termos de w. Como z^{2}-1 tem zero simples em z_{0}, localmente há uma constante C\neq0 tal que
w^{3}=z^{2}-1=C\,(z-z_{0})+ \text{(termos de ordem superior)}.
Assim, para z próximo de z_{0},
z-z_{0}\sim C^{-1}w^{3},
o que mostra que, ao usar w como parâmetro local, a função \pi age como w\mapsto z=z_{0}+(\text{const})\cdot w^{3}. Isso significa que a ramificação tem índice e=3 (ou seja um ciclo de comprimento 3) em cada um dos pontos z=\pm1. Em termos práticos: ao dar uma volta em torno de z=1 a raiz w multiplica por uma raiz primitiva cúbica \omega (então as três folhas se permutam ciclicamente).

Passo 4

Analisar o comportamento no infinito e compactificar a curva (modelo projetivo). Para entender a superfície globalmente é obrigatório olhar o ponto(s) sobre z=\infty. Compactificamos a curva homogenizando a equação para uma curva em \mathbb{P}^2. Tomando coordenadas projetivas [Z:W:U] com z=Z/U, w=W/U, a homogenização de w^{3}=z^{2}-1 de grau 3 é
W^{3}-Z^{2}U+U^{3}=0.
Pontos no infinito correspondem a U=0. Substituindo U=0 obtemos W^{3}=0, logo W=0 e qualquer Z\neq0 dá o mesmo ponto projetivo. Assim há exatamente um ponto na curva sobre z=\infty, que é
[Z:W:U]=[1:0:0].
Verificação de suavidade naquele ponto: calculemos os parciais de F(Z,W,U)=W^{3}-Z^{2}U+U^{3}:
F_{Z}=-2ZU,\qquad F_{W}=3W^{2},\qquad F_{U}=-Z^{2}+3U^{2}.
No ponto [1:0:0] temos F_{Z}=0, F_{W}=0, F_{U}=-1\neq0, portanto a curva é suave ali. Logo a compactificação é uma curva projetiva suave de grau 3 — isto é, uma cúbica suave em \mathbb{P}^{2}.
Localmente perto do ponto infinito, work no cartão Z\neq0 usando coordenadas locais x=W/Z e y=U/Z. A equação fica
x^{3}-y+y^{3}=0.
Para y pequeno obtemos y=x^{3}+O(y^{3}). Voltando para a coordenada z=Z/U=1/y, obtemos z\sim 1/x^{3}. Assim x é um parâmetro local e a projeção para z tem comportamento x\mapsto z\sim x^{-3}, ou seja ramificação de índice 3 sobre z=\infty (há apenas um ponto da superfície sobre z=\infty, e a aplicação tem multiplicidade 3 aí).

Passo 5

Calcular o gênero com Riemann–Hurwitz (ou reconhecer cúbica suave). Usando a projeção \pi: superfície \to esfera Riemann (variável z) temos grau \deg\pi=3. Os pontos de ramificação são exatamente z=-1,\,1, e z=\infty. Cada um deles tem índice de ramificação e=3, portanto cada um contribui com e-1=2 para a soma dos dévios de ramificação.
Aplicando a fórmula de Riemann–Hurwitz para uma cobertura de grau d=3 sobre a esfera (gênero 0):
2-2g(X)=d\,(2-0)-\sum_{P}(e_{P}-1).
Aqui \sum_{P}(e_{P}-1)=2+2+2=6. Logo
2-2g(X)=3\cdot 2 - 6 = 0 \quad\Rightarrow\quad g(X)=1.
Interpretação: a superfície de Riemann compacta associada à curva w^{3}=z^{2}-1 tem gênero 1. Em linguagem geométrica: é uma curva elíptica, topologicamente um toro.
Comentário alternativo curto: como já observámos, a homogenização dá uma cúbica suave em \mathbb{P}^2; toda cúbica suave tem gênero 1, portanto a superfície é uma curva elíptica.

Passo 6

Descrever a monodromia e a construção por folhas (descrição não compacta e construtiva). Para visualizar a superfície de Riemann (antes de compactificar) pense em três cópias do plano z (chame-as folha 0, 1, 2) e em fazer cortes entre os pontos de ramificação para permitir colagem ciclica:
  • Pontos de ramificação finitos: z=\pm1. Se pegar um pequeno circuito em torno de z=1 (não envolvendo -1), e seguir analytic continuation da raiz cúbica escolhida w, então w é multiplicado por \omega=\mathrm{e}^{2\pi i/3}. Ou seja, a volta faz a rotação w\mapsto \omega w e permuta ciclicamente as três folhas 0\to1\to2\to0. O mesmo acontece em torno de z=-1.
  • Em z=\infty também há ramificação: ao encerrar um circuito ao redor de toda a esfera incluindo ambas as ramificações finitas se obtém novamente permutação cíclica de ordem 3, consistente com a existência de ramificação em infinito.
Uma forma prática de construir a superfície concreta é:
  • cortar o plano z ao longo de dois arcos que conectem os três pontos de ramificação vistos sobre a esfera (por exemplo escolha um grafo com vértices \{-1,1,\infty\} e arestas dois arcos que os liguem);
  • tomar três cópias do plano cortado e colar ciclicamente as bordas dos cortes (seguindo a permutação dada por multiplicação por \omega);
  • o objeto resultante é a superfície de Riemann não compacta; ao finalmente “fechar” os extremos (compactificar) obtém-se um toro (gênero 1).
Comentário encorajador: isso significa que, apesar do aspecto “cúbico”, a superfície não é muito complicada: é uma única peça do tipo toro, mas com a estrutura analítica que permite definir w=(z^{2}-1)^{1/3} de maneira global sobre essa superfície.

Passo 7

Resumo técnico-final (síntese para a prova). Pontos-chave que convém saber e citar rápido na prova:
  • A superfície de Riemann de f(z)=(z^{2}-1)^{1/3} é dada afimmente por \{(z,w)\in\mathbb{C}^{2}\mid w^{3}=z^{2}-1\} com projeção \pi(z,w)=z.
  • É um revestimento de grau 3 do plano z, com pontos de ramificação em z=1,\,-1, e z=\infty. Cada ramificação tem índice 3 (as folhas se permutam ciclicamente).
  • A compactificação projetiva é a cúbica suave em \mathbb{P}^{2} definida por W^{3}-Z^{2}U+U^{3}=0; como cúbica suave, sua gênero é 1. Portanto a superfície compacta é uma curva elíptica (topologicamente um toro).
  • Monodromia local: contornar z=1 (ou z=-1) multiplica w por \omega=\mathrm{e}^{2\pi i/3}. Fazer três voltas retorna ao valor inicial.

Resposta

A superfície de Riemann de f(z)=\left(z^{2}-1\right)^{1/3} é a curva afim
\{(z,w)\in\mathbb{C}^{2}\mid w^{3}=z^{2}-1\},
que é um revestimento de grau 3 do plano z ramificado em z=1, z=-1 e z=\infty, com índice de ramificação 3 em cada um desses pontos. A compactificação projetiva é a cúbica suave em \mathbb{P}^{2} dada por
W^{3}-Z^{2}U+U^{3}=0,
logo a superfície compacta tem gênero 1 (é uma curva elíptica, topologicamente um toro).

Exercícios relacionados