Problema 5 Descreva a superfície de Riemann da funçio
.
Passo 1
O enunciado pede: descrever a superfície de Riemann da função
.
Informações dadas (explícitas no enunciado):
Informações dadas (explícitas no enunciado):
- A função multivalorada é
. - A relação algébrica correspondente é
se escrevermos .
O que vamos precisar entregar (o que significa “descrever”):
- identificar os pontos de ramificação (branch points) no plano
; - dizer quantas folhas (sheets) a superfície tem e como elas se conectam (monodromia);
- apresentar o modelo compacto (fechamento projetivo) da superfície e calcular seu gênero topológico;
- dar uma descrição global intuitiva (por exemplo: é uma curva elíptica / toro?) e como montar a superfície a partir de folhas e cortes.
Passo 2
Transformar o problema em geometria: a superfície de Riemann associada a
pode ser vista como o conjunto de pares
que satisfazem
Este conjunto (a curva afim) com a projeção natural
é uma cobertura do plano
(exceto nos pontos especiais), e a superfície de Riemann é justamente a folha conectada onde
varia analiticamente sobre
. Assim a descrição da superfície passa por estudar a equação algébrica acima, os pontos onde a projeção deixa de ser localmente bijetiva (ramificações) e o comportamento no infinito.
Explicação didática: pensar em
é como pensar em três cópias do plano
(três folhas), uma para cada valor possível de
dado um
genérico. Quando
varia ao redor de um ponto de ramificação, os três valores de
permutam entre si; a forma dessa permutação (ciclo de comprimento 3, por exemplo) define como as folhas se conectam.
Passo 3
Encontrar os pontos de ramificação finitos. Ramificação acontece quando as três folhas colidem, ou seja quando a relação e sua derivada em
implicam multiplicidade. Para a curva
usamos a condição clássica: pontos ramificados sob
ocorrem quando
e
(pontos críticos da projeção).
Calculemos:
Logo
implica
. Substituindo em
obtemos
Portanto os pontos de ramificação finitos são
e
, e em ambos os casos o ponto na superfície corresponde a
.
Explicação da ordem de ramificação (local): perto de
podemos escrever
em termos de
. Como
tem zero simples em
, localmente há uma constante
tal que
Assim, para
próximo de
,
o que mostra que, ao usar
como parâmetro local, a função
age como
. Isso significa que a ramificação tem índice
(ou seja um ciclo de comprimento 3) em cada um dos pontos
. Em termos práticos: ao dar uma volta em torno de
a raiz
multiplica por uma raiz primitiva cúbica
(então as três folhas se permutam ciclicamente).
Passo 4
Analisar o comportamento no infinito e compactificar a curva (modelo projetivo). Para entender a superfície globalmente é obrigatório olhar o ponto(s) sobre
. Compactificamos a curva homogenizando a equação para uma curva em
. Tomando coordenadas projetivas
com
,
, a homogenização de
de grau
é
Pontos no infinito correspondem a
. Substituindo
obtemos
, logo
e qualquer
dá o mesmo ponto projetivo. Assim há exatamente um ponto na curva sobre
, que é
Verificação de suavidade naquele ponto: calculemos os parciais de
:
No ponto
temos
,
,
, portanto a curva é suave ali. Logo a compactificação é uma curva projetiva suave de grau
— isto é, uma cúbica suave em
.
Localmente perto do ponto infinito, work no cartão
usando coordenadas locais
e
. A equação fica
Para
pequeno obtemos
. Voltando para a coordenada
, obtemos
. Assim
é um parâmetro local e a projeção para
tem comportamento
, ou seja ramificação de índice
sobre
(há apenas um ponto da superfície sobre
, e a aplicação tem multiplicidade
aí).
Passo 5
Calcular o gênero com Riemann–Hurwitz (ou reconhecer cúbica suave). Usando a projeção
superfície
esfera Riemann (variável
) temos grau
. Os pontos de ramificação são exatamente
e
. Cada um deles tem índice de ramificação
, portanto cada um contribui com
para a soma dos dévios de ramificação.
Aplicando a fórmula de Riemann–Hurwitz para uma cobertura de grau
sobre a esfera (gênero
):
Aqui
. Logo
Interpretação: a superfície de Riemann compacta associada à curva
tem gênero
. Em linguagem geométrica: é uma curva elíptica, topologicamente um toro.
Comentário alternativo curto: como já observámos, a homogenização dá uma cúbica suave em
; toda cúbica suave tem gênero
, portanto a superfície é uma curva elíptica.
Passo 6
Descrever a monodromia e a construção por folhas (descrição não compacta e construtiva). Para visualizar a superfície de Riemann (antes de compactificar) pense em três cópias do plano
(chame-as folha 0, 1, 2) e em fazer cortes entre os pontos de ramificação para permitir colagem ciclica:
- Pontos de ramificação finitos:
. Se pegar um pequeno circuito em torno de (não envolvendo ), e seguir analytic continuation da raiz cúbica escolhida , então é multiplicado por . Ou seja, a volta faz a rotação e permuta ciclicamente as três folhas . O mesmo acontece em torno de . - Em
também há ramificação: ao encerrar um circuito ao redor de toda a esfera incluindo ambas as ramificações finitas se obtém novamente permutação cíclica de ordem 3, consistente com a existência de ramificação em infinito.
Uma forma prática de construir a superfície concreta é:
- cortar o plano
ao longo de dois arcos que conectem os três pontos de ramificação vistos sobre a esfera (por exemplo escolha um grafo com vértices e arestas dois arcos que os liguem); - tomar três cópias do plano cortado e colar ciclicamente as bordas dos cortes (seguindo a permutação dada por multiplicação por
); - o objeto resultante é a superfície de Riemann não compacta; ao finalmente “fechar” os extremos (compactificar) obtém-se um toro (gênero 1).
Comentário encorajador: isso significa que, apesar do aspecto “cúbico”, a superfície não é muito complicada: é uma única peça do tipo toro, mas com a estrutura analítica que permite definir
de maneira global sobre essa superfície.
Passo 7
Resumo técnico-final (síntese para a prova). Pontos-chave que convém saber e citar rápido na prova:
- A superfície de Riemann de
é dada afimmente por com projeção . - É um revestimento de grau
do plano , com pontos de ramificação em e . Cada ramificação tem índice (as folhas se permutam ciclicamente). - A compactificação projetiva é a cúbica suave em
definida por ; como cúbica suave, sua gênero é . Portanto a superfície compacta é uma curva elíptica (topologicamente um toro). - Monodromia local: contornar
(ou ) multiplica por . Fazer três voltas retorna ao valor inicial.
Resposta
A superfície de Riemann de
é a curva afim
que é um revestimento de grau
do plano
ramificado em
,
e
, com índice de ramificação
em cada um desses pontos. A compactificação projetiva é a cúbica suave em
dada por
logo a superfície compacta tem gênero
(é uma curva elíptica, topologicamente um toro).