Problema 17. Duas esferas concêntricas de raios RA e RB limitam o espaço em três regiões (RA<RB), respectivamente. No interior da esfera A e no exterior da esfera B a densidade de carga é nula. Na região entre as duas esferas a densidade carga é constante e igua a rho0. Mostre que o potencial elétrico em cada uma das regiões é dada por:
V(r)=ll rho0(RB^2-RA^2)2 epsilon0, & r <= RA rho0epsilon0(RB^22-RA^33 r-r^26), & RA <= r <= RB rho0(RB^3-RA^3)3 epsilon0 r, & RB <= r

Passo 1

O enunciado descreve duas esferas concêntricas de raios RA e RB ( RA<RB). A densidade volumétrica de carga é nula para r<RA e para r>RB, e igual a rho0 em RA<r<RB. Queremos achar o potencial elétrico V(r) em cada região usando a simetria esférica, a Lei de Gauss para obter E(r) e então integrar E=-nabla V impondo V(infty)=0.

Passo 2

Aplicando a Lei de Gauss para achar o campo elétrico radial E(r):
Para r<= RA, não há carga interna, logo
E(r)=0
Para RA<= r<= RB, a carga interna é
Qint=rho0,4pi3l(r^3-RA^3r),
e pela Lei de Gauss ( oint Ecdot dA=Qint/epsilon0) obtemos
E(r) =14piepsilon0, Qintr^2 =rho03epsilon0, r^3-RA^3r^2
Para r>= RB, toda a carga total interna é
Qtot =rho0,4pi3l(RB^3-RA^3r),
logo
E(r) =14piepsilon0, Qtotr^2 =rho03epsilon0, RB^3-RA^3r^2

Passo 3

Para r>= RB, integramos
V(r)=-integralinfty^rE(r'),dr',
usando E(r')=dfracrho0(RB^3-RA^3)3epsilon0,r'^2. Fazendo a integral,
V(r) =rho03epsilon0,(RB^3-RA^3) integralinfty^r!-dr'r'^2 =rho0(RB^3-RA^3)3epsilon0,r

Passo 4

Para RA<= r<= RB, escrevemos
V(r) =-integralinfty^rE(r'),dr' =-integralinfty^RBEfora,dr' -integralRB^rEdentro,dr'
O primeiro termo dá
V(RB) =rho03epsilon0 RB^3-RA^3RB =rho0epsilon0 l(RB^23-RA^33RBr),
o segundo termo é
-integralRB^rrho03epsilon0 r'^3-RA^3r'^2,dr' =-rho03epsilon0 integralRB^rl(r'-RA^3r'^-2r),dr'
=-rho03epsilon0 l[r^2-RB^22 +RA^3l(1r-1RBr)r]
Somando e simplificando chega-se a
V(r) =rho0epsilon0 l(RB^22-r^26-RA^33rr)

Passo 5

Para r<= RA, temos E=0, logo V(r)=V(RA). Substituindo r=RA na expressão do passo anterior,
V(RA) =rho0epsilon0 l(RB^22-RA^26-RA^23r) =rho02epsilon0 l(RB^2-RA^2r)

Resposta

V(r)= rho0,(RB^2-RA^2)2epsilon0,&r<= RA,[6pt] rho0epsilon0l(RB^22-r^26-RA^33rr),&RA<= r<= RB,[6pt] rho0,(RB^3-RA^3)3epsilon0,r,&r>= RB ]

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