Problema 17. Duas esferas concêntricas de raios e limitam o espaço em três regiões , respectivamente. No interior da esfera e no exterior da esfera a densidade de carga é nula. Na região entre as duas esferas a densidade carga é constante e igua a . Mostre que o potencial elétrico em cada uma das regiões é dada por:
Passo 1
O enunciado descreve duas esferas concêntricas de raios RA e RB (RA<RB). A densidade volumétrica de carga é nula para r<RA e para r>RB, e igual a rho0 em RA<r<RB. Queremos achar o potencial elétrico V(r) em cada região usando a simetria esférica, a Lei de Gauss para obter E(r) e então integrar E=-nabla V impondo V(infty)=0.
Passo 2
Aplicando a Lei de Gauss para achar o campo elétrico radial E(r):
Para r<= RA, não há carga interna, logo
E(r)=0
Para RA<= r<= RB, a carga interna é
Qint=rho0,4pi3l(r^3-RA^3r),
e pela Lei de Gauss ( oint Ecdot dA=Qint/epsilon0) obtemos