Problema 15 Esboce a área da região limitada pelos gráficos de y=x^2-x^4 e y=x^2-1.

Passo 1

O enunciado pede esboçar a região limitada pelos gráficos de y = x^2 - x^4 e y = x^2 - 1. Aqui o conteúdo é análise de curvas polinomiais: vamos achar onde elas se cruzam e depois determinar qual delas está acima em cada intervalo.

Passo 2

Para encontrar os pontos de interseção, igualamos
x^2 - x^4 = x^2 - 1
e obtemos
-,x^4 = -,1 Longrightarrow x^4 = 1 Longrightarrow x = pm 1
Logo, as curvas se cruzam em (-1,0) e em (1,0).

Passo 3

Para decidir qual curva fica acima, compare
x^2 - x^4 e x^2 - 1
Note que, para -1 < x < 1, vale x^4 < 1, então
-,x^4 > -,1 Longrightarrow x^2 - x^4 > x^2 - 1
Portanto, entre -1 e 1 a curva y = x^2 - x^4 fica acima da curva y = x^2 - 1. Fora desse intervalo ocorre o inverso, mas a região limitada é exatamente para -1 <= x <= 1.

Passo 4

Agora esboçamos cada curva:
  1. y = x^2 - 1 é uma parábola de eixo vertical, vértice em (0,-1) e passa por (-1,0) e (1,0).
  2. y = x^2 - x^4 também é simétrica em torno do eixo y. Tem zeros em x = 0 e em x = pm1. Derivando,
y' = 2x - 4x^3 = 2x(1 - 2x^2),
logo extremos em x = 0 e x = pm1raiz2. O valor em x = pm1raiz2 é
yl(pmtfrac1raiz2r) = tfrac12 - tfrac14 = tfrac14,
ou seja, dois picos em l(pmtfrac1raiz2,tfrac14r) e um ponto de sela em (0,0).

Passo 5

Para montar o esboço:
  • Desenhe o eixo x horizontal e o eixo y vertical.
  • Marque os pontos de interseção (-1,0) e (1,0).
  • Desenhe a parábola y = x^2 - 1 com vértice em (0,-1).
  • Desenhe a curva quartíca y = x^2 - x^4, tocando o eixo em (-1,0), (0,0) e (1,0) e atingindo máximos em l(pmtfrac1raiz2,tfrac14r).
  • A região limitada está entre essas duas curvas, para -1 <= x <= 1: fica abaixo de y = x^2 - x^4 e acima de y = x^2 - 1. Sombreie essa “lente” simétrica em torno do eixo y.

Resposta

A região é o “lens” simétrico para -1 <= x <= 1, contido entre a curva quartíca superior y = x^2 - x^4 e a parábola inferior y = x^2 - 1.

Exercícios relacionados