Problema 15 Esboce a área da região limitada pelos gráficos de
e
.
Passo 1
O enunciado pede esboçar a região limitada pelos gráficos de
e
. Aqui o conteúdo é análise de curvas polinomiais: vamos achar onde elas se cruzam e depois determinar qual delas está acima em cada intervalo.
Passo 2
Para encontrar os pontos de interseção, igualamos
e obtemos
Logo, as curvas se cruzam em
e em
.
Passo 3
Para decidir qual curva fica acima, compare
Note que, para
, vale
, então
Portanto, entre
e
a curva
fica acima da curva
. Fora desse intervalo ocorre o inverso, mas a região limitada é exatamente para
.
Passo 4
Agora esboçamos cada curva:
-
é uma parábola de eixo vertical, vértice em e passa por e . -
também é simétrica em torno do eixo . Tem zeros em e em . Derivando,
logo extremos em
e
. O valor em
é
ou seja, dois picos em
e um ponto de sela em
.
Passo 5
Para montar o esboço:
- Desenhe o eixo
horizontal e o eixo vertical. - Marque os pontos de interseção
e . - Desenhe a parábola
com vértice em . - Desenhe a curva quartíca
, tocando o eixo em , e e atingindo máximos em . - A região limitada está entre essas duas curvas, para
: fica abaixo de e acima de . Sombreie essa “lente” simétrica em torno do eixo .
Resposta
A região é o “lens” simétrico para
, contido entre a curva quartíca superior
e a parábola inferior
.