Problema 16. Prove que para todo
, temos
Passo 1
O enunciado nos pede para provar que, para todo
,
, vale
Isso é uma soma de progressão geométrica de razão
. A fórmula conhecida para a soma dos
primeiros termos de uma PG de razão
é
Passo 2
Aplicando essa fórmula com
, teríamos
Logo, o valor correto da soma é
, não
.
Passo 3
Para reforçar essa conclusão, basta checar o caso base
:
mas a hipótese original exigiria
, o que é falso.
Passo 4
Portanto, não há como provar a afirmação dada pois ela está incorreta. A identidade verdadeira é
Resposta
A igualdade do enunciado é falsa. A soma correta é
, não
.