Problema 16. Prove que para todo n \in \mathbb{N}, n>0, temos
1+2+2^{2}+2^{3}+\cdots+2^{n-1}=2^{n}

Passo 1

O enunciado nos pede para provar que, para todo n\in\mathbb{N}, n>0, vale
1 + 2 + 2^{2} + \cdots + 2^{n-1} = 2^{n}.
Isso é uma soma de progressão geométrica de razão 2. A fórmula conhecida para a soma dos n primeiros termos de uma PG de razão q\neq1 é
\sum_{k=0}^{n-1} q^{k} = \frac{q^{n}-1}{q-1}.

Passo 2

Aplicando essa fórmula com q=2, teríamos
\sum_{k=0}^{n-1} 2^{k} = \frac{2^{n} - 1}{2 - 1} = 2^{n} - 1.
Logo, o valor correto da soma é 2^{n}-1, não 2^{n}.

Passo 3

Para reforçar essa conclusão, basta checar o caso base n=1:
1 = \sum_{k=0}^{0}2^{k} = 2^{1}-1 = 1,
mas a hipótese original exigiria 1 = 2^{1} = 2, o que é falso.

Passo 4

Portanto, não há como provar a afirmação dada pois ela está incorreta. A identidade verdadeira é
1 + 2 + 2^{2} + \cdots + 2^{n-1} = 2^{n} - 1.

Resposta

A igualdade do enunciado é falsa. A soma correta é \sum_{k=0}^{n-1}2^{k}=2^{n}-1, não 2^{n}.

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