Critério de comparação: Sejam
e
duas séries de termos positivos. Demonstre o seguinte:
Se a série
converge e
, entāo a série
também converge.
Se a série
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, dadas duas séries de termos não negativos
se
converge e
para todo
, então
também converge.
O conteúdo que vamos usar é o teste de comparação direta para séries de termos não negativos, que se baseia em estudar as somas parciais e o critério da convergência de uma sequência monotônica e limitada.
O conteúdo que vamos usar é o teste de comparação direta para séries de termos não negativos, que se baseia em estudar as somas parciais e o critério da convergência de uma sequência monotônica e limitada.
Passo 2
Definimos as somas parciais
Como
para todo
, a sequência
é monotonicamente crescente. O mesmo vale para
.
Passo 3
Pela hipótese de comparação
, temos para todo
:
Como
converge, a sequência
converge a um limite finito
.
Passo 4
Dessa forma
é uma sequência crescente e limitada superiormente por
. Pelo teorema da convergência de sequências monotônicas,
converge a um limite finito.
Resposta
Como as somas parciais
convergem, a série
converge.