Critério de comparação: Sejam ∑_{n=1}^{+∞} a_{n} e ∑_{n=1}^{+∞} b_{n} duas séries de termos positivos. Demonstre o seguinte:
Se a série ∑_{n=1}^{+∞} b_{n} converge e a_{n} ≤ b_{n} ∀ n ∈ \mathbb{N}^{+}, entāo a série ∑_{n=1}^{+∞} a_{n} também converge.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dadas duas séries de termos não negativos
\sum_{n=1}^{+\infty}a_{n} \quad\text{e}\quad \sum_{n=1}^{+\infty}b_{n},
se \sum b_{n} converge e 0 \le a_{n}\le b_{n} para todo n, então \sum a_{n} também converge.
O conteúdo que vamos usar é o teste de comparação direta para séries de termos não negativos, que se baseia em estudar as somas parciais e o critério da convergência de uma sequência monotônica e limitada.

Passo 2

Definimos as somas parciais
S_{N} = \sum_{n=1}^{N}a_{n} \quad\text{e}\quad T_{N} = \sum_{n=1}^{N}b_{n}.
Como a_{n}\ge0 para todo n, a sequência \bigl(S_{N}\bigr)_{N=1}^{\infty} é monotonicamente crescente. O mesmo vale para \bigl(T_{N}\bigr).

Passo 3

Pela hipótese de comparação a_{n}\le b_{n}, temos para todo N:
S_{N} = \sum_{n=1}^{N}a_{n} \le \sum_{n=1}^{N}b_{n} = T_{N}.
Como \sum b_{n} converge, a sequência \bigl(T_{N}\bigr) converge a um limite finito L.

Passo 4

Dessa forma \bigl(S_{N}\bigr) é uma sequência crescente e limitada superiormente por L. Pelo teorema da convergência de sequências monotônicas, \bigl(S_{N}\bigr) converge a um limite finito.

Resposta

Como as somas parciais S_{N} convergem, a série \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}a_{n} converge.

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