Problema 16. Prove que para todo n \in \mathbb{N}, n>0, temos
1+2+2^{2}+2^{3}+\cdots+2^{n-1}=2^{n}

Passo 1

O enunciado pede para provar, por indução em n\in\mathbb{N}, que
1 + 2 + 2^2 + \cdots + 2^{n-1} = 2^n.
Observe que isso é exatamente a soma dos n primeiros termos de uma progressão geométrica de razão 2, cujo termo geral é 2^{k-1} para k=1,2,\dots,n.

Passo 2

A fórmula geral da soma dos primeiros n termos de uma progressão geométrica de razão q\neq1 e primeiro termo a é
S_n = a\,\frac{q^n - 1}{q - 1}.
Aqui temos a=1 e q=2, logo
1 + 2 + 2^2 + \cdots + 2^{n-1} = 1\cdot\frac{2^n - 1}{2 - 1} = 2^n - 1.
Portanto, a soma é 2^n - 1, não 2^n.

Resposta

A afirmação do enunciado está incorreta. A identidade correta é
1 + 2 + 2^2 + \cdots + 2^{n-1} = 2^n - 1,
e não 2^n.

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