Problema 18. Uma esfera maciça condutora de raio tem uma cavidade central de raio . No centro da cavidade é fixada uma carga positiva . Mostre que o potencial elétrico é dado por:
Passo 1
O enunciado trata de uma esfera condutora maciça de raio R1 que possui, em seu interior, uma cavidade esférica concêntrica de raio R2. No centro da cavidade está fixa uma carga pontual positiva q0.
Conteúdo: eletrostática em condutores, propriedades de equilíbrio eletrostático (campo nulo no metal, condutor como superfície equipotencial) e Lei de Gauss para superfícies esféricas.
Passo 2
Quando colocamos q0 dentro da cavidade, ela induz carga -q0 na superfície interna (raio R2) e, para conservar a neutralidade do condutor, induz carga +q0 na superfície externa (raio R1). Essas cargas se distribuem de forma esfericamente simétrica por causa da geometria concêntrica.
Passo 3
Para r >= R1, a configuração se comporta como uma carga total q0 concentrada em um ponto no centro. Pela Lei de Gauss esférica,
E(r)=14piepsilon0;q0r^2 (radial, para r>= R1)
Integrando o campo para obter o potencial e exigindo V(infty)=0,
V(r)=14piepsilon0;q0r (para r>= R1)
Passo 4
No interior do metal, ou seja para R2<= r<= R1, o campo é nulo (E=0). Logo o potencial é constante e igual ao valor na superfície externa r=R1:
V(r)=V(R1) =14piepsilon0;q0R1 (para R2<= r<= R1)
Passo 5
Dentro da cavidade, para r<= R2, somente a carga q0 no centro contribui para o campo (as cargas induzidas em R2 e em R1 estão fora dessa região). Assim, pela Lei de Gauss,