Problema 7.18: Processo Adiabático de Gás Ideal Expandindo-se adiabaticamente um mol de um gás ideal,
, até que a temperatura caia de
para
, calcule
,
e
.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede, sem resolver ainda.
- Dados fornecidos:
- quantidade de matéria:
mol. - capacidade térmica molar a volume constante:
. - temperatura inicial:
. - temperatura final:
. - processo: adiabático (ou seja, sem trocas de calor com o ambiente).
- quantidade de matéria:
- O que o enunciado pede:
- calcular
(calor trocado), - calcular
(trabalho realizado pelo gás), - calcular
(variação da energia interna), - calcular
(variação da entalpia).
- calcular
Observação útil que já podemos usar: a variação de temperatura é
Passo 2
Primeiro, a lei primeira da termodinâmica e convenções de sinal (muito importante entender isso para a prova):
- A primeira lei pode ser escrita como
onde:
-
é a variação da energia interna do sistema, -
é o calor recebido pelo sistema (positivo se entra calor), -
é o trabalho realizado pelo sistema (positivo se o sistema realiza trabalho sobre o ambiente). -
Para um processo adiabático vale, por definição, que
. Então, para este processo
Isso já nos dá um resultado imediato:
. Mas vamos calcular
e
explicitamente.
Passo 3
Como calcular
para um gás ideal:
- Para um gás ideal (e processos onde
é constante), a energia interna depende apenas da temperatura e a variação é dada por
Aqui:
-
é o número de mols, -
é a capacidade térmica molar a volume constante (unidade ), -
é a variação de temperatura em kelvin. -
Substituindo os valores dados:
-
, -
, -
, - usaremos
.
-
Calculando passo a passo:
Agora numérico:
Interpretação física rápida:
porque o gás, ao expandir adiabaticamente, realiza trabalho gastando energia interna; a temperatura caiu 10 K.
Passo 4
Calcular
usando a primeira lei e o resultado de
:
- Como vimos, para processo adiabático
e, pela primeira lei,
- Substituindo
,
Interpretação:
significa que o gás realizou
de trabalho sobre o ambiente durante a expansão.
Passo 5
Calcular
(variação da entalpia):
- Para um gás ideal a entalpia molar
depende apenas da temperatura e
onde
é a capacidade térmica molar à pressão constante.
- Relação entre
e para gás ideal:
Com
obtemos
- Portanto
Valor numérico:
Verificação alternativa (para fixar a ideia): como
e
,
coincidindo com o cálculo acima.
Passo 6
Resumo físico e checagens finais (rápido, para te deixar confiante):
- Porque o processo é adiabático,
. - A energia interna caiu porque a temperatura caiu; essa queda de energia interna virou trabalho realizado pelo gás.
- A entalpia também caiu porque ela é proporcional à temperatura para gás ideal; como a queda de temperatura é maior no fator
do que em , a magnitude de é maior que a de .
Força aí — já tens todas as fórmulas importantes:
,
,
, e a primeira lei
. Esses são os passos que usam direto na prova.