Problema 7.18: Processo Adiabático de Gás Ideal Expandindo-se adiabaticamente um mol de um gás ideal, \hat{C}_{V}=\frac{3}{2} \mathrm{R}, até que a temperatura caia de 20^{\circ} \mathrm{C} para 10^{\circ} \mathrm{C}, calcule Q, W, \Delta U e \Delta H.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede, sem resolver ainda.
  • Dados fornecidos:
    • quantidade de matéria: n=1 mol.
    • capacidade térmica molar a volume constante: \hat{C}_{V}=\dfrac{3}{2}\,R.
    • temperatura inicial: T_{i}=20^\circ\mathrm{C}=293{,}15\\ \mathrm{K}.
    • temperatura final: T_{f}=10^\circ\mathrm{C}=283{,}15\\ \mathrm{K}.
    • processo: adiabático (ou seja, sem trocas de calor com o ambiente).
  • O que o enunciado pede:
    • calcular Q (calor trocado),
    • calcular W (trabalho realizado pelo gás),
    • calcular \Delta U (variação da energia interna),
    • calcular \Delta H (variação da entalpia).
Observação útil que já podemos usar: a variação de temperatura é
\Delta T = T_{f}-T_{i} = -10\\ \mathrm{K}.

Passo 2

Primeiro, a lei primeira da termodinâmica e convenções de sinal (muito importante entender isso para a prova):
  • A primeira lei pode ser escrita como
\Delta U = Q - W,
onde:
  • \Delta U é a variação da energia interna do sistema,
  • Q é o calor recebido pelo sistema (positivo se entra calor),
  • W é o trabalho realizado pelo sistema (positivo se o sistema realiza trabalho sobre o ambiente).
  • Para um processo adiabático vale, por definição, que Q=0. Então, para este processo
\Delta U = -W \quad\Longleftrightarrow\quad W = -\Delta U.
Isso já nos dá um resultado imediato: Q=0. Mas vamos calcular \Delta U e \Delta H explicitamente.

Passo 3

Como calcular \Delta U para um gás ideal:
  • Para um gás ideal (e processos onde \hat{C}_V é constante), a energia interna depende apenas da temperatura e a variação é dada por
\Delta U = n\,\hat{C}_{V}\,\Delta T.
Aqui:
  • n é o número de mols,
  • \hat{C}_{V} é a capacidade térmica molar a volume constante (unidade \mathrm{J\,mol^{-1}K^{-1}}),
  • \Delta T é a variação de temperatura em kelvin.
  • Substituindo os valores dados:
    • n=1,
    • \hat{C}_{V}=\dfrac{3}{2}R,
    • \Delta T=-10\\ \mathrm{K},
    • usaremos R=8{,}314\\ \mathrm{J\,mol^{-1}K^{-1}}.
Calculando passo a passo:
\Delta U = 1\cdot\frac{3}{2}R\cdot(-10)= -15\,R.
Agora numérico:
\Delta U = -15\cdot 8{,}314 = -124{,}71\\ \mathrm{J}.
Interpretação física rápida: \Delta U<0 porque o gás, ao expandir adiabaticamente, realiza trabalho gastando energia interna; a temperatura caiu 10 K.

Passo 4

Calcular W usando a primeira lei e o resultado de \Delta U:
  • Como vimos, para processo adiabático Q=0 e, pela primeira lei,
W = -\Delta U.
  • Substituindo \Delta U=-124{,}71\\ \mathrm{J},
W = -(-124{,}71\\ \mathrm{J}) = 124{,}71\\ \mathrm{J}.
Interpretação: W>0 significa que o gás realizou 124{,}71\\ \mathrm{J} de trabalho sobre o ambiente durante a expansão.

Passo 5

Calcular \Delta H (variação da entalpia):
  • Para um gás ideal a entalpia molar \hat{H} depende apenas da temperatura e
\Delta H = n\,\hat{C}_{P}\,\Delta T,
onde \hat{C}_{P} é a capacidade térmica molar à pressão constante.
  • Relação entre \hat{C}_{P} e \hat{C}_{V} para gás ideal:
\hat{C}_{P} = \hat{C}_{V} + R.
Com \hat{C}_{V}=\dfrac{3}{2}R obtemos
\hat{C}_{P}=\frac{3}{2}R+R=\frac{5}{2}R.
  • Portanto
\Delta H = n\cdot\frac{5}{2}R\cdot\Delta T = 1\cdot\frac{5}{2}R\cdot(-10) = -25\,R.
Valor numérico:
\Delta H = -25\cdot 8{,}314 = -207{,}85\\ \mathrm{J}.
Verificação alternativa (para fixar a ideia): como \Delta H = \Delta U + \Delta(nRT) e \Delta(nRT)=nR\Delta T,
\Delta H = \Delta U + nR\Delta T = (-15R) + (1\cdot R\cdot -10) = -25R,
coincidindo com o cálculo acima.

Passo 6

Resumo físico e checagens finais (rápido, para te deixar confiante):
  • Porque o processo é adiabático, Q=0.
  • A energia interna caiu porque a temperatura caiu; essa queda de energia interna virou trabalho realizado pelo gás.
  • A entalpia também caiu porque ela é proporcional à temperatura para gás ideal; como a queda de temperatura é maior no fator C_P do que em C_V, a magnitude de \Delta H é maior que a de \Delta U.
Força aí — já tens todas as fórmulas importantes: \Delta U=n\hat{C}_V\Delta T, \Delta H=n\hat{C}_P\Delta T, \hat{C}_P=\hat{C}_V+R, e a primeira lei \Delta U=Q-W. Esses são os passos que usam direto na prova.

Resposta

Q=0
W=124{,}71\\ \mathrm{J}
\Delta U=-124{,}71\\ \mathrm{J}
\Delta H=-207{,}85\\ \mathrm{J}

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