Problema 7.27: Maximização de Trabalho em Expansão Isostérmica em Múltiplos Estágios Um mol de um gás ideal é expandido de T, p_{1}, V_{1} a T, p_{2}, V_{2} em dois estágios. Primeiro estágio, pressão oposta p^{\prime} de V_{1} a V^{\prime}. Segundo estágio, pressão oposta p_{2} de V^{\prime} a V_{2}. Sabe-se que o ponto p^{\prime}, V^{\prime} cai na isoterma à temperatura T.
a) Expresse o trabalho total, W_{\text {total }}, em termos de T, V_{1}, V^{\prime}, V_{2}, p^{\prime}, p_{2}.
b) Qual é o valor de p^{\prime} para que W_{\text {total }} seja o máximo?
c) Qual é o valor do trabalho máximo produzido?

Passo 1

O enunciado e os dados importantes são estes (vou listar tudo com calma):
  • Temos 1 mol de um gás ideal que passa de (T,p_{1},V_{1}) para (T,p_{2},V_{2}) mantendo a temperatura T (expansão isotérmica).
  • A expansão é feita em dois estágios:
    • Primeiro estágio: a pressão oposta (externa) é constante e igual a p', e o volume vai de V_{1} a V'.
    • Segundo estágio: a pressão oposta (externa) é constante e igual a p_{2}, e o volume vai de V' a V_{2}.
  • Sabe-se que o ponto (p',V') está sobre a isoterma a temperatura T. Como é 1 mol de gás ideal, vale a relação de estado pV = RTpara os pontos de equilíbrio (com R a constante dos gases).
O enunciado pede três coisas:
(a) Expressar o trabalho total W_{\text{total}} em termos de T, V_{1}, V', V_{2}, p', p_{2}.
(b) Determinar o valor de p' que maximiza W_{\text{total}}.
(c) Determinar o valor do trabalho máximo produzido.

Passo 2

Conceito de trabalho usado aqui (aula rápida antes de calcular): quando a pressão oposta (externa) é constante durante um estágio de expansão de volume, o trabalho realizado pelo gás naquele estágio é
W=\int_{V_{\text{in}}}^{V_{\text{fin}}} p_{\text{ext}}\,dV = p_{\text{ext}}\,(V_{\text{fin}}-V_{\text{in}}).
Isso vale mesmo se o processo não for reversível; basta que a pressão externa seja constante nesse trecho.
Aplicando isso aos dois estágios:
  • Trabalho no primeiro estágio (de V_{1} a V' com pressão externa p'): W_{1}=p'\,(V'-V_{1}).
  • Trabalho no segundo estágio (de V' a V_{2} com pressão externa p_{2}): W_{2}=p_{2}\,(V_{2}-V').
Portanto o trabalho total é a soma:
W_{\text{total}}=p'\,(V'-V_{1})+p_{2}\,(V_{2}-V').
Isto já responde a parte (a) na forma pedida (em termos de p',p_{2},V_1,V',V_2). Como o enunciado também menciona T e que (p',V') está na isoterma, podemos e vamos usar a relação p'V'=RT (e também p_{2}V_{2}=RT) para reescrever W_{\text{total}} numa forma conveniente para maximização.

Passo 3

Usando a relação de estado para 1 mol ( pV=RT) nos pontos relevantes:
p'V' = RT,\qquad p_{2}V_{2} = RT.
Daí
p'=\frac{RT}{V'},\qquad p_{2}=\frac{RT}{V_{2}}.
Substituindo essas expressões em W_{\text{total}} obtemos uma função de V' (com T,V_{1},V_{2} fixos):
W(V')=\frac{RT}{V'}(V'-V_{1})+\frac{RT}{V_{2}}(V_{2}-V').
Agora vamos simplificar essa expressão passo a passo:
Primeiro termo:
\frac{RT}{V'}(V'-V_{1}) = RT\left(1-\frac{V_{1}}{V'}\right).
Segundo termo:
\frac{RT}{V_{2}}(V_{2}-V') = RT\left(1-\frac{V'}{V_{2}}\right).
Somando,
W(V')=RT\left(1-\frac{V_{1}}{V'}\right)+RT\left(1-\frac{V'}{V_{2}}\right)=RT\left(2-\frac{V_{1}}{V'}-\frac{V'}{V_{2}}\right).
Portanto temos reduzido o problema a maximizar a função
W(V') = RT\left(2-\frac{V_{1}}{V'}-\frac{V'}{V_{2}}\right)
em relação a V' no intervalo V_{1}<V'<V_{2} (expansão).

Passo 4

Agora vamos maximizar W(V'). Como RT>0 é constante, basta maximizar a função
f(V')=2-\frac{V_{1}}{V'}-\frac{V'}{V_{2}}.
Calcule a derivada de f em relação a V':
\frac{df}{dV'}=\frac{d}{dV'}\left(-\frac{V_{1}}{V'}-\frac{V'}{V_{2}}\right) =\; \frac{V_{1}}{V'^{2}}-\frac{1}{V_{2}}.
Para um extremo ponha \dfrac{df}{dV'}=0, obtendo
\frac{V_{1}}{V'^{2}}-\frac{1}{V_{2}}=0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{V_{1}}{V'^{2}}=\frac{1}{V_{2}} \quad\Longrightarrow\quad V'^{2}=V_{1}V_{2}.
Como V'>0, a solução relevante é
V'=\sqrt{V_{1}V_{2}}.
Para verificar que este ponto dá máximo, calcule a segunda derivada:
\frac{d^{2}f}{dV'^{2}}=\frac{d}{dV'}\left(\frac{V_{1}}{V'^{2}}-\frac{1}{V_{2}}\right) =-\frac{2V_{1}}{V'^{3}}<0,
portanto é um máximo (a função é côncava naquele ponto).

Passo 5

Encontramos o V' que maximiza o trabalho:
V'=\sqrt{V_{1}V_{2}}.
Agora usamos a condição de isoterma p'V'=RT para obter p':
p'=\frac{RT}{V'}=\frac{RT}{\sqrt{V_{1}V_{2}}}.
Também podemos escrever p' em termos de p_{1} e p_{2}. Como p_{1}V_{1}=RT e p_{2}V_{2}=RT, temos
p'=\frac{RT}{\sqrt{V_{1}V_{2}}} =\sqrt{\frac{(RT)^{2}}{V_{1}V_{2}}} =\sqrt{\frac{(p_{1}V_{1})(p_{2}V_{2})}{V_{1}V_{2}}} =\sqrt{p_{1}p_{2}}.
Logo o valor de p' que maximiza o trabalho é
p'=\frac{RT}{\sqrt{V_{1}V_{2}}}=\sqrt{p_{1}p_{2}}.

Passo 6

Agora calculamos o trabalho máximo substituindo V'=\sqrt{V_{1}V_{2}} na expressão para W(V').
Começando de
W(V') = RT\left(2-\frac{V_{1}}{V'}-\frac{V'}{V_{2}}\right),
colocamos V'=\sqrt{V_{1}V_{2}}. Observe que
\frac{V_{1}}{V'}=\frac{V_{1}}{\sqrt{V_{1}V_{2}}}=\sqrt{\frac{V_{1}}{V_{2}}} \quad\text{e}\quad \frac{V'}{V_{2}}=\frac{\sqrt{V_{1}V_{2}}}{V_{2}}=\sqrt{\frac{V_{1}}{V_{2}}}.
Portanto ambas parcelas iguais, e
W_{\max}=RT\left(2-2\sqrt{\frac{V_{1}}{V_{2}}}\right)=2RT\left(1-\sqrt{\frac{V_{1}}{V_{2}}}\right).
Também é útil escrever isso em termos das pressões iniciais/finais. Usando \dfrac{V_{1}}{V_{2}}=\dfrac{p_{2}}{p_{1}} (porque p_{1}V_{1}=p_{2}V_{2}=RT), obtemos a forma alternativa
W_{\max}=2RT\left(1-\sqrt{\frac{p_{2}}{p_{1}}}\right).

Resposta

(a) W_{\text{total}}=p'\,(V'-V_{1})+p_{2}\,(V_{2}-V')=\dfrac{RT}{V'}(V'-V_{1})+\dfrac{RT}{V_{2}}(V_{2}-V')
(b) p'=\dfrac{RT}{\sqrt{V_{1}V_{2}}}=\sqrt{p_{1}p_{2}}
(c) W_{\max}=2RT\left(1-\sqrt{\dfrac{V_{1}}{V_{2}}}\right)=2RT\left(1-\sqrt{\dfrac{p_{2}}{p_{1}}}\right)

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