Problema 7.27: Maximização de Trabalho em Expansão Isostérmica em Múltiplos Estágios Um mol de um gás ideal é expandido de
a
em dois estágios. Primeiro estágio, pressão oposta
de
a
. Segundo estágio, pressão oposta
de
a
. Sabe-se que o ponto
cai na isoterma à temperatura
.
a) Expresse o trabalho total,
, em termos de
.
b) Qual é o valor de
para que
seja o máximo?
c) Qual é o valor do trabalho máximo produzido?
a) Expresse o trabalho total,
b) Qual é o valor de
c) Qual é o valor do trabalho máximo produzido?
Passo 1
O enunciado e os dados importantes são estes (vou listar tudo com calma):
- Temos
mol de um gás ideal que passa de para mantendo a temperatura (expansão isotérmica). - A expansão é feita em dois estágios:
- Primeiro estágio: a pressão oposta (externa) é constante e igual a
, e o volume vai de a . - Segundo estágio: a pressão oposta (externa) é constante e igual a
, e o volume vai de a .
- Primeiro estágio: a pressão oposta (externa) é constante e igual a
- Sabe-se que o ponto
está sobre a isoterma a temperatura . Como é 1 mol de gás ideal, vale a relação de estado para os pontos de equilíbrio (com a constante dos gases).
O enunciado pede três coisas:
(a) Expressar o trabalho total em termos de
.
(b) Determinar o valor de que maximiza
.
(c) Determinar o valor do trabalho máximo produzido.
(a) Expressar o trabalho total
(b) Determinar o valor de
(c) Determinar o valor do trabalho máximo produzido.
Passo 2
Conceito de trabalho usado aqui (aula rápida antes de calcular): quando a pressão oposta (externa) é constante durante um estágio de expansão de volume, o trabalho realizado pelo gás naquele estágio é
Isso vale mesmo se o processo não for reversível; basta que a pressão externa seja constante nesse trecho.
Aplicando isso aos dois estágios:
- Trabalho no primeiro estágio (de
a com pressão externa ): - Trabalho no segundo estágio (de
a com pressão externa ):
Portanto o trabalho total é a soma:
Isto já responde a parte (a) na forma pedida (em termos de
). Como o enunciado também menciona
e que
está na isoterma, podemos e vamos usar a relação
(e também
) para reescrever
numa forma conveniente para maximização.
Passo 3
Usando a relação de estado para 1 mol (
) nos pontos relevantes:
Daí
Substituindo essas expressões em
obtemos uma função de
(com
fixos):
Agora vamos simplificar essa expressão passo a passo:
Primeiro termo:
Segundo termo:
Somando,
Portanto temos reduzido o problema a maximizar a função
em relação a
no intervalo
(expansão).
Passo 4
Agora vamos maximizar
. Como
é constante, basta maximizar a função
Calcule a derivada de
em relação a
:
Para um extremo ponha
, obtendo
Como
, a solução relevante é
Para verificar que este ponto dá máximo, calcule a segunda derivada:
portanto é um máximo (a função é côncava naquele ponto).
Passo 5
Encontramos o
que maximiza o trabalho:
Agora usamos a condição de isoterma
para obter
:
Também podemos escrever
em termos de
e
. Como
e
, temos
Logo o valor de
que maximiza o trabalho é
Passo 6
Agora calculamos o trabalho máximo substituindo
na expressão para
.
Começando de
colocamos
. Observe que
Portanto ambas parcelas iguais, e
Também é útil escrever isso em termos das pressões iniciais/finais. Usando
(porque
), obtemos a forma alternativa
Resposta
(a)
(b)
(c)