Problema 7.15: Expansão Adiabática Irreversível de Gás Ideal Repita o Problema 7.13 (gás ideal, \hat{C}_{V}=\frac{3}{2} \mathrm{R} para monotômico e \hat{C}_{V}=\frac{5}{2} \mathrm{R} para diatômico) para uma expansão adiabática irreversível de 1.0 MPa para 0.10 MPa .

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede (assunções necessárias):
  • Processo: expansão adiabática irreversível do gás ideal, do pressões iniciais P_1=1{,}0\\ \mathrm{MPa} para P_2=0{,}10\\ \mathrm{MPa}.
  • Capacidades fornecidas (por mol): para monoatômico \hat{C}_V=\tfrac{3}{2}R; para diatômico \hat{C}_V=\tfrac{5}{2}R. Logo \hat{C}_P=\hat{C}_V+R.
  • Não foi informado o número de mols nem a temperatura inicial T_1. Vou resolver por mola ( n=1\\ \mathrm{mol}) e deixar resultados dependentes de T_1 quando necessário — isto é uma assunção padrão em problemas desse tipo quando não se dá n nem T_1.
  • O enunciado pede repetir o problema para uma expansão adiabática irreversível; portanto vamos determinar as grandezas relevantes por mol: temperatura final T_2 (em relação a T_1), trabalho W, variação de energia interna \Delta U e variação de entropia do sistema \Delta S, tanto para o gás monoatômico quanto para o diatômico.

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (aula rápida e intuitiva)
  • Primeira lei da termodinâmica (por mol): \Delta U = Q + W. Aqui o processo é adiabático, então Q=0, portanto
\Delta U = W.
  • Para gás ideal a energia interna depende só da temperatura: \Delta U = n \hat{C}_V (T_2 - T_1).
  • Trabalho em uma expansão irreversível contra pressão externa constante P_{\text{ext}}:
W = -\int_{V_1}^{V_2} P_{\text{ext}}\,dV = -P_{\text{ext}}(V_2-V_1).
No caso típico de uma expansão súbita contra uma pressão externa que corresponde à pressão final do equilíbrio, escolhemos P_{\text{ext}}=P_2.
  • Equação de estado do gás ideal (por mol):
PV = RT \quad\Rightarrow\quad V=\frac{RT}{P}.
  • Fórmula geral da variação de entropia de um gás ideal (entre dois estados qualquer):
\Delta S = n\hat{C}_V\ln\!\left(\frac{T_2}{T_1}\right) + nR\ln\!\left(\frac{V_2}{V_1}\right).
Usando a equação de estado pode-se também escrever, após manipulação,
\Delta S = n\hat{C}_P\ln\!\left(\frac{T_2}{T_1}\right) + nR\ln\!\left(\frac{P_1}{P_2}\right).
(Nesta forma o fator \ln(P_1/P_2) aparece explicitamente e é útil quando conhecemos pressões.)

Passo 3

Equação para T_2 no caso irreversível com P_{\text{ext}}=P_2 (derivação passo a passo)
  • Aplique \Delta U = W e use as expressões:
n\hat{C}_V(T_2-T_1) = -P_2(V_2-V_1).
  • Substitua V_1=\dfrac{nRT_1}{P_1} e V_2=\dfrac{nRT_2}{P_2}:
n\hat{C}_V(T_2-T_1) = -P_2\!\left(\frac{nRT_2}{P_2}-\frac{nRT_1}{P_1}\right).
  • Simplifique o lado direito (observe que P_2 cancela no primeiro termo):
n\hat{C}_V(T_2-T_1) = -nR T_2 + nR\frac{P_2}{P_1}T_1.
  • Agrupe os termos em T_2 no lado esquerdo:
n(\hat{C}_V + R)T_2 = n\hat{C}_V T_1 + nR\frac{P_2}{P_1}T_1.
  • Como \hat{C}_P=\hat{C}_V+R, isolamos T_2:
T_2 = \frac{\hat{C}_V + R\,(P_2/P_1)}{\hat{C}_P}\;T_1.
Esta é a expressão geral (por mol) para T_2 no caso de expansão irreversível contra pressão externa igual à pressão final.

Passo 4

Aplicando a fórmula para as duas categorias (usar P_2/P_1=0{,}10)
  • Primeiro calcule o quociente \dfrac{P_2}{P_1}=\dfrac{0{,}10}{1{,}0}=0{,}10.
  • Caso monoatômico: \hat{C}_V=\tfrac{3}{2}R, \hat{C}_P=\tfrac{5}{2}R.
    Substituindo na fórmula: \frac{T_2}{T_1} = \frac{\tfrac{3}{2}R + R\cdot 0{,}10}{\tfrac{5}{2}R} = \frac{1{,}5 + 0{,}10}{2{,}5} = \frac{1{,}6}{2{,}5} = 0{,}64.Logo para o gás monoatômico T_2=0{,}64\,T_1.
  • Caso diatômico: \hat{C}_V=\tfrac{5}{2}R, \hat{C}_P=\tfrac{7}{2}R.
    Substituindo: \frac{T_2}{T_1} = \frac{\tfrac{5}{2}R + R\cdot 0{,}10}{\tfrac{7}{2}R} = \frac{2{,}5 + 0{,}10}{3{,}5} = \frac{2{,}6}{3{,}5} \approx 0{,}742857.Logo para o gás diatômico T_2\approx 0{,}742857\,T_1.

Passo 5

Variação de energia interna \Delta U e trabalho W (expressões por mol, explícitas)
  • Em geral \Delta U = n\hat{C}_V (T_2-T_1) e W = \Delta U (pois Q=0).
  • Substituindo T_2 = k T_1 com o k encontrado:
    • Monoatômico ( k=0{,}64, n=1): \Delta U = \hat{C}_V(T_2-T_1) = \tfrac{3}{2}R(0{,}64-1)T_1 = -0{,}54\,R\,T_1.Portanto W = -0{,}54\,R\,T_1.
    • Diatômico ( k\approx 0{,}742857, n=1): \Delta U = \tfrac{5}{2}R(0{,}742857-1)T_1 \approx -0{,}642857\,R\,T_1,e W \approx -0{,}642857\,R\,T_1.
  • Observação prática: sem o valor numérico de T_1 não podemos dar W em joules; as expressões acima são válidas por mol e permitem calcular um valor numérico se T_1 for fornecida.

Passo 6

Cálculo da variação de entropia \Delta S do sistema (por mol) — valor numérico independente de T_1
  • Use a forma conveniente
\Delta S = n\hat{C}_P\ln\!\left(\frac{T_2}{T_1}\right) + nR\ln\!\left(\frac{P_1}{P_2}\right).
Com n=1 e \dfrac{P_1}{P_2}=10 (logo \ln(10)\approx 2{,}302585093).
  • Monoatômico ( \hat{C}_P=\tfrac{5}{2}R, T_2/T_1=0{,}64): \Delta S = R\Big[ \tfrac{5}{2}\ln(0{,}64) + \ln(10)\Big].Compute:
    \ln(0{,}64)\approx -0{,}4462871026. Então o fator entre colchetes vale aproximadamente 2{,}5\cdot(-0{,}4462871026) + 2{,}302585093 \approx 1{,}1868673364.Multiplicando por R\approx 8{,}314462618\\ \mathrm{J\,mol^{-1}K^{-1}}: \Delta S \approx 9{,}87\\ \mathrm{J\,K^{-1}\,mol^{-1}}.
  • Diatômico ( \hat{C}_P=\tfrac{7}{2}R, T_2/T_1\approx 0{,}742857): \Delta S = R\Big[ \tfrac{7}{2}\ln(0{,}742857) + \ln(10)\Big].Compute:
    \ln(0{,}742857)\approx -0{,}297153. O fator é 3{,}5\cdot(-0{,}297153) + 2{,}302585093 \approx 1{,}2625487,e multiplicando por R: \Delta S \approx 10{,}50\\ \mathrm{J\,K^{-1}\,mol^{-1}}.
  • Importante: \Delta S>0 em ambos os casos, como esperado para uma expansão irreversível adiabática isolada — a entropia do sistema aumenta.

Passo 7

Resumo físico curto (motivacional)
  • Para a expansão irreversível contra P_{\text{ext}}=P_2 a temperatura final fica menor que T_1 (a maioria da energia interna foi usada para realizar trabalho), mais fortemente no monoatômico do que no diatômico para os mesmos P_1 e P_2.
  • A entropia do gás aumenta (processo irreversível), e os valores numéricos da \Delta S por mol que encontramos são independentes de T_1 — dependem só da razão de pressões e das capacidades molares.

Resposta

Monoatômico ( \hat{C}_V=\tfrac{3}{2}R):
\displaystyle \frac{T_2}{T_1}=0{,}64,\quad \Delta U=-0{,}54\,R\,T_1\\ (\text{por mol}),\quad W=-0{,}54\,R\,T_1\\ (\text{por mol}),\quad \Delta S\approx 9{,}87\\ \mathrm{J\,K^{-1}\,mol^{-1}}
Diatômico ( \hat{C}_V=\tfrac{5}{2}R):
\displaystyle \frac{T_2}{T_1}\approx 0{,}742857,\quad \Delta U\approx -0{,}642857\,R\,T_1\\ (\text{por mol}),\quad W\approx -0{,}642857\,R\,T_1\\ (\text{por mol}),\quad \Delta S\approx 10{,}50\\ \mathrm{J\,K^{-1}\,mol^{-1}}

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