Problema 7.15: Expansão Adiabática Irreversível de Gás Ideal Repita o Problema 7.13 (gás ideal,
para monotômico e
para diatômico) para uma expansão adiabática irreversível de 1.0 MPa para 0.10 MPa .
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede (assunções necessárias):
- Processo: expansão adiabática irreversível do gás ideal, do pressões iniciais
para . - Capacidades fornecidas (por mol): para monoatômico
; para diatômico . Logo . - Não foi informado o número de mols nem a temperatura inicial
. Vou resolver por mola ( ) e deixar resultados dependentes de quando necessário — isto é uma assunção padrão em problemas desse tipo quando não se dá nem . - O enunciado pede repetir o problema para uma expansão adiabática irreversível; portanto vamos determinar as grandezas relevantes por mol: temperatura final
(em relação a ), trabalho , variação de energia interna e variação de entropia do sistema , tanto para o gás monoatômico quanto para o diatômico.
Passo 2
Conceitos e fórmulas que vamos usar (aula rápida e intuitiva)
- Primeira lei da termodinâmica (por mol):
. Aqui o processo é adiabático, então , portanto
- Para gás ideal a energia interna depende só da temperatura:
. - Trabalho em uma expansão irreversível contra pressão externa constante
:
No caso típico de uma expansão súbita contra uma pressão externa que corresponde à pressão final do equilíbrio, escolhemos
.
- Equação de estado do gás ideal (por mol):
- Fórmula geral da variação de entropia de um gás ideal (entre dois estados qualquer):
Usando a equação de estado pode-se também escrever, após manipulação,
(Nesta forma o fator
aparece explicitamente e é útil quando conhecemos pressões.)
Passo 3
Equação para
no caso irreversível com
(derivação passo a passo)
- Aplique
e use as expressões:
- Substitua
e :
- Simplifique o lado direito (observe que
cancela no primeiro termo):
- Agrupe os termos em
no lado esquerdo:
- Como
, isolamos :
Esta é a expressão geral (por mol) para
no caso de expansão irreversível contra pressão externa igual à pressão final.
Passo 4
Aplicando a fórmula para as duas categorias (usar
)
- Primeiro calcule o quociente
. - Caso monoatômico:
, .
Substituindo na fórmula:Logo para o gás monoatômico . - Caso diatômico:
, .
Substituindo:Logo para o gás diatômico .
Passo 5
Variação de energia interna
e trabalho
(expressões por mol, explícitas)
- Em geral
e (pois ). - Substituindo
com o encontrado: - Monoatômico (
, ): Portanto - Diatômico (
, ): e
- Monoatômico (
- Observação prática: sem o valor numérico de
não podemos dar em joules; as expressões acima são válidas por mol e permitem calcular um valor numérico se for fornecida.
Passo 6
Cálculo da variação de entropia
do sistema (por mol) — valor numérico independente de
- Use a forma conveniente
Com
e
(logo
).
- Monoatômico (
, ): Compute:
. Então o fator entre colchetes vale aproximadamente Multiplicando por : - Diatômico (
, ): Compute:
. O fator é e multiplicando por : - Importante:
em ambos os casos, como esperado para uma expansão irreversível adiabática isolada — a entropia do sistema aumenta.
Passo 7
Resumo físico curto (motivacional)
- Para a expansão irreversível contra
a temperatura final fica menor que (a maioria da energia interna foi usada para realizar trabalho), mais fortemente no monoatômico do que no diatômico para os mesmos e . - A entropia do gás aumenta (processo irreversível), e os valores numéricos da
por mol que encontramos são independentes de — dependem só da razão de pressões e das capacidades molares.
Resposta
Monoatômico (
):
Diatômico (
):