Problema 7.13: Compressão Adiabática Irreversível de Gás Ideal (Comparativo)
Um mol de um gás ideal, inicialmente a
e 0.10 MPa , é comprimido adiabaticamente até uma pressão final de 1.0 MPa . O processo é realizado em uma única etapa contra a pressão final. Calcule a temperatura final. Repita o problema com as seguintes capacidades caloríficas:
- Monotômico:
.
- Diatômico:
.
Passo 1
O enunciado dá e pede o seguinte:
-
Dados fornecidos:
- Quantidade de gás:
mol. - Temperatura inicial:
. - Pressão inicial:
. - Pressão final:
. - O processo é adiabático (sem troca de calor) e irreversível: a compressão é feita em uma única etapa contra a pressão externa igual à pressão final
. - Dois casos de capacidades caloríficas molares a volume constante
serão usados: - Monotômico:
. - Diatômico:
.
- Monotômico:
- Quantidade de gás:
-
O que o problema pede:
- Calcular a temperatura final
para cada um dos dois valores de .
- Calcular a temperatura final
Passo 2
Princípios físicos e fórmulas que vamos usar (com explicação):
- Primeira lei da termodinâmica para um sistema fechado:
, onde -
é a variação da energia interna do gás; -
é o calor trocado com o entorno; -
é o trabalho realizado pelo sistema sobre o entorno.
-
- Como o processo é adiabático,
. Logo: Isto significa que todo o ganho de energia interna vem do trabalho realizado sobre o gás (trabalho realizado no sistema). - Para uma compressão realizada contra uma pressão externa constante
, o trabalho realizado pelo sistema é Observe que, numa compressão temos e portanto (energia interna aumenta). - Para um gás ideal, a energia interna depende só da temperatura e a variação é
onde é a capacidade calorífica molar a volume constante (unidade ). - As pressões e volumes inicial e final obedecem à equação dos gases ideais:
Aqui é a constante universal dos gases ( ), e são volumes inicial e final.
Resumo prático: vamos escrever
, substituir
e
pelas expressões da equação dos gases ideais, e isolar
.
Passo 3
Montagem da equação e substituições. Começando de
Substituindo
e
por
e
:
Podemos simplificar fator
(aqui
mas deixamos simbólico até a simplificação):
Expandindo o lado direito:
Passo 4
Isolando
. Colocando os termos em
do lado esquerdo e os outros do lado direito:
Fatorando
e reconhecendo
:
Portanto a expressão geral para a temperatura final é
ou, se escrever
(isto é,
), fica
Essa forma é muito prática porque para capacidades molares dadas como múltiplos de
(como
e
) o
cancela.
Passo 5
Aplicando números: primeiro calculemos a razão de pressões
Temperatura inicial:
.
Caso monotômico:
.
Substituindo
:
Caso diatômico:
.
Substituindo
:
Passo 6
Interpretação rápida e checagem de ordem de grandeza:
- A compressão irreversível e adiabática feita contra uma pressão externa alta aquece muito o gás:
cresce bastante porque o trabalho feito no gás aumenta sua energia interna. - O resultado mostra que, para a mesma compressão, um gás com maior
(diatômico) atinge uma temperatura final menor do que um gás com menor (monotômico), porque o mesmo trabalho aumenta menos a temperatura quando a capacidade calorífica é maior (energia interna extra “cabe” em mais graus de liberdade).
Resposta
Monotômico:
Diatômico: