Problema 19) O múon negativo possui carga igual à de um elétron, mas massa 207 vezes maior. Considere um átomo tipo hidrogênio consistindo em um próton e um múon.
(c) Qual é o comprimento de onda da radiação emitida na transição do nível n_{2} ao nível n_{1} ?

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado:
  • Pede: o comprimento de onda da radiação emitida na transição do nível n_{2} para o nível n_{1} em um átomo “tipo hidrogênio” formado por um próton e um múon negativo.
  • Informação relevante: o múon tem carga igual à do elétron, mas massa 207 vezes a massa do elétron. Ou seja, m_{\mu}=207\,m_{e}.
  • Dados físicos que vamos precisar (constantes usadas): h (constante de Planck), c (velocidade da luz), a energia fundamental do átomo de hidrogênio com o elétron 13{,}6\\ \mathrm{eV} (energia do nível n=1 para massa m_e). A resolução começa daqui.

Passo 2

Por que usar a massa reduzida e qual é a massa reduzida:
  • Num átomo com duas partículas (próton e múon) o movimento relativo é equivalente ao movimento de uma partícula de massa igual à massa reduzida \mu movendo-se em torno do centro de massa. A massa reduzida é
\mu=\frac{m_p\,m_{\mu}}{m_p+m_{\mu}}.
  • Aqui m_p é a massa do próton e m_{\mu} a massa do múon. Como as energias dos níveis do átomo dependem da massa da partícula que “orbita” (no modelo de Bohr / solução de Schrödinger para hidrogênio), substituímos m_e por \mu nas fórmulas do átomo de hidrogênio.

Passo 3

Fórmula das energias dos níveis ligados (resumo e explicação das variáveis):
  • Para um átomo hidrogenoide (carga nuclear +e e carga da partícula ligada -e), os níveis de energia são
E_n=-\frac{\mu e^{4}}{2(4\pi\varepsilon_0)^{2}\hbar^{2}}\cdot\frac{1}{n^{2}}.
Explicando cada símbolo:
  • \mu é a massa reduzida definida acima.
  • e é a carga elementar.
  • \varepsilon_0 é a permissividade do vácuo.
  • \hbar é a constante de Planck reduzida ( \hbar=h/2\pi).
  • n é o número quântico principal ( n=1,2,3,\dots).
  • Para o hidrogênio com elétron usa-se m_e em \mu e a expressão torna-se numericamente E_n=-\dfrac{13{,}6\\ \mathrm{eV}}{n^{2}}. Assim, para massa reduzida \mu genérica podemos escrever, de forma prática,
E_n = -\left(\frac{\mu}{m_e}\right)\frac{13{,}6\\ \mathrm{eV}}{n^{2}}.
Isso é útil porque aproveita o valor conhecido 13{,}6\\ \mathrm{eV}.

Passo 4

Energia do fóton emitido na transição n_{2}\to n_{1} e relação com comprimento de onda:
  • A energia liberada (módulo) na transição n_{2}\to n_{1} ( n_2>n_1) é a diferença entre níveis:
\Delta E = E_{n_1}-E_{n_2} = 13{,}6\\ \mathrm{eV}\,\left(\frac{\mu}{m_e}\right)\!\left(\frac{1}{n_1^{2}}-\frac{1}{n_2^{2}}\right).
  • O comprimento de onda \lambda do fóton emitido relaciona-se com \Delta E por
\lambda=\frac{hc}{\Delta E}.
  • Usando hc=1240\\ \mathrm{eV\cdot nm} (valor prático), obtemos a fórmula prática:
\lambda=\frac{1240\\ \mathrm{eV\cdot nm}}{13{,}6\\ \mathrm{eV}\,\left(\dfrac{\mu}{m_e}\right)\!\left(\dfrac{1}{n_1^{2}}-\dfrac{1}{n_2^{2}}\right)}.

Passo 5

Substituindo a massa reduzida para o sistema próton–múon e calculando a forma numérica:
  • Substitui-se m_{\mu}=207\,m_e e m_p\approx1836\,m_e. Então
\frac{\mu}{m_e}=\frac{m_p/m_e\cdot m_{\mu}/m_e}{m_p/m_e + m_{\mu}/m_e} =\frac{1836\cdot207}{1836+207}=\frac{380052}{2043}\approx186{,}026.
  • Agora calcule o fator no denominador: 13{,}6\cdot(\mu/m_e)\approx13{,}6\cdot186{,}026\approx2529{,}95.
  • Com isso
\lambda \approx \frac{1240}{2529{,}95}\cdot\frac{1}{\left(\dfrac{1}{n_1^{2}}-\dfrac{1}{n_2^{2}}\right)}\\ \mathrm{nm}.
  • O quociente 1240/2529{,}95 dá aproximadamente 0{,}4899. Logo, a expressão simples e numérica é
\lambda \approx \frac{0{,}4899\\ \mathrm{nm}}{\left(\dfrac{1}{n_1^{2}}-\dfrac{1}{n_2^{2}}\right)}.

Passo 6

Exemplo para fixar (opcional, verificação rápida):
  • Se a transição for n_2=2 para n_1=1 (análoga à Lyman- \alpha do hidrogênio comum), então
\lambda_{2\to1}\approx\frac{0{,}4899\\ \mathrm{nm}}{1-\tfrac{1}{4}}=\frac{0{,}4899}{3/4}\\ \mathrm{nm}\approx0{,}6532\\ \mathrm{nm}=6{,}532\\ \text{\AA}.
Isto confirma que as linhas de um átomo muônico ficam muito mais para o ultravioleta profundo / raios X suaves em comparação com o hidrogênio comum.

Resposta

\displaystyle \lambda=\frac{1240\\ \mathrm{eV\cdot nm}}{13{,}6\\ \mathrm{eV}\,\left(\dfrac{\mu}{m_e}\right)\!\left(\dfrac{1}{n_1^{2}}-\dfrac{1}{n_2^{2}}\right)}\n \displaystyle \text{com }\frac{\mu}{m_e}=\frac{1836\cdot207}{1836+207}\approx186{,}026\Rightarrow \lambda\approx\frac{0{,}4899\\ \mathrm{nm}}{\left(\dfrac{1}{n_1^{2}}-\dfrac{1}{n_2^{2}}\right)}

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