Problema 19) O múon negativo possui carga igual à de um elétron, mas massa 207 vezes maior. Considere um átomo tipo hidrogênio consistindo em um próton e um múon.
(c) Qual é o comprimento de onda da radiação emitida na transição do nível
ao nível
?
Passo 1
O que o enunciado pede e o que foi dado:
- Pede: o comprimento de onda da radiação emitida na transição do nível
para o nível em um átomo “tipo hidrogênio” formado por um próton e um múon negativo. - Informação relevante: o múon tem carga igual à do elétron, mas massa
vezes a massa do elétron. Ou seja, . - Dados físicos que vamos precisar (constantes usadas):
(constante de Planck), (velocidade da luz), a energia fundamental do átomo de hidrogênio com o elétron (energia do nível para massa ). A resolução começa daqui.
Passo 2
Por que usar a massa reduzida e qual é a massa reduzida:
- Num átomo com duas partículas (próton e múon) o movimento relativo é equivalente ao movimento de uma partícula de massa igual à massa reduzida
movendo-se em torno do centro de massa. A massa reduzida é
- Aqui
é a massa do próton e a massa do múon. Como as energias dos níveis do átomo dependem da massa da partícula que “orbita” (no modelo de Bohr / solução de Schrödinger para hidrogênio), substituímos por nas fórmulas do átomo de hidrogênio.
Passo 3
Fórmula das energias dos níveis ligados (resumo e explicação das variáveis):
- Para um átomo hidrogenoide (carga nuclear
e carga da partícula ligada ), os níveis de energia são
Explicando cada símbolo:
-
é a massa reduzida definida acima. -
é a carga elementar. -
é a permissividade do vácuo. -
é a constante de Planck reduzida ( ). -
é o número quântico principal ( ). - Para o hidrogênio com elétron usa-se
em e a expressão torna-se numericamente . Assim, para massa reduzida genérica podemos escrever, de forma prática,
Isso é útil porque aproveita o valor conhecido
.
Passo 4
Energia do fóton emitido na transição
e relação com comprimento de onda:
- A energia liberada (módulo) na transição
( ) é a diferença entre níveis:
- O comprimento de onda
do fóton emitido relaciona-se com por
- Usando
(valor prático), obtemos a fórmula prática:
Passo 5
Substituindo a massa reduzida para o sistema próton–múon e calculando a forma numérica:
- Substitui-se
e . Então
- Agora calcule o fator no denominador:
. - Com isso
- O quociente
dá aproximadamente . Logo, a expressão simples e numérica é
Passo 6
Exemplo para fixar (opcional, verificação rápida):
- Se a transição for
para (análoga à Lyman- do hidrogênio comum), então
Isto confirma que as linhas de um átomo muônico ficam muito mais para o ultravioleta profundo / raios X suaves em comparação com o hidrogênio comum.