Problema 15) Uma partícula alfa de 4,78 MeV , partindo de um decaimento de { }^{226} \mathrm{Ra}, colide frontalmente com um núcleo de urânio, que possui 92 prótons.
(a) Qual é a distância da menor aproximação da partícula alfa ao centro do núcleo? Suponha que o núcleo do urânio permaneça em repouso e que a menor distância de aproximação seja muito maior que o raio do núcleo de urânio.

Passo 1

O enunciado pede a menor distância de aproximação (distância do centro do núcleo de urânio até a partícula alfa no ponto de viragem) para uma colisão frontal. Informações dadas:
  • Energia cinética inicial da partícula alfa: E=4,78\\ \mathrm{MeV} (valor obtido do decaimento de {}^{226}\mathrm{Ra}).
  • Carga da partícula alfa: duas cargas elementares, ou seja Z_\alpha=2.
  • Núcleo de urânio com Z_U=92 prótons (logo carga Z_U e).
  • Suposição do enunciado: núcleo de urânio permanece em repouso e a menor distância de aproximação é muito maior que o raio do núcleo (isso será verificado ao final).
O que se pede: calcular r_{\min}, a menor distância entre o centro do núcleo de urânio e a partícula alfa no choque frontal.

Passo 2

Princípio físico a usar (explicação didática): quando a partícula alfa se aproxima do núcleo carregado, sua energia cinética inicial vai sendo convertida em energia potencial eletrostática até o ponto de parada momentânea (ponto de menor aproximação), onde a velocidade é zero. Assim, pela conservação da energia (energia cinética inicial = energia potencial eletrostática no ponto de viragem), vale
E = U(r_{\min}).
Aqui:
  • E é a energia cinética inicial da partícula (em \mathrm{MeV}).
  • U(r) é a energia potencial eletrostática entre duas cargas puntiformes separadas por r, dada por
U(r)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{q_1 q_2}{r}.
No nosso caso q_1=Z_\alpha e e q_2=Z_U e, onde e é a carga elementar. Portanto, a relação que usaremos é
E=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{Z_\alpha Z_U e^2}{r_{\min}}.
Explicando as constantes:
  • \varepsilon_0 é a permissividade do vácuo.
  • e é a carga elementar ( e\approx1,602176634\times10^{-19}\\ \mathrm{C}).
    Para evitar ficar fazendo muitas conversões, é comum usar a constante \dfrac{e^2}{4\pi\varepsilon_0} em unidades convenientes: \dfrac{e^2}{4\pi\varepsilon_0}\approx1,43996\\ \mathrm{MeV\cdot fm}. Isso significa que, se E estiver em \mathrm{MeV} e r em \mathrm{fm} (femtômetros, 1\\ \mathrm{fm}=10^{-15}\\ \mathrm{m}), a fórmula fica direta e prática.

Passo 3

Isolando r_{\min} da expressão de conservação de energia, obtemos
r_{\min}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{Z_\alpha Z_U e^2}{E}.
Em unidades \mathrm{MeV} e \mathrm{fm} isso se escreve de forma prática como
r_{\min}=\frac{\dfrac{e^2}{4\pi\varepsilon_0}\;Z_\alpha Z_U}{E}.
Aqui todas as quantidades são:
  • \dfrac{e^2}{4\pi\varepsilon_0} em \mathrm{MeV\cdot fm},
  • Z_\alpha Z_U adimensional,
  • E em \mathrm{MeV},
    resultando r_{\min} em \mathrm{fm}.

Passo 4

Substituindo os números:
  • Z_\alpha=2,
  • Z_U=92,
  • E=4,78\\ \mathrm{MeV},
  • \dfrac{e^2}{4\pi\varepsilon_0}\approx1,43996\\ \mathrm{MeV\cdot fm}.
Calcule Z_\alpha Z_U:
Z_\alpha Z_U = 2\times92 = 184.
Calcule o numerador:
\dfrac{e^2}{4\pi\varepsilon_0}\;Z_\alpha Z_U \approx 1,43996\times184 \\ \mathrm{MeV\cdot fm}.
Agora faça a multiplicação detalhada (passo a passo):
1,43996\times184 = 1,43996\times(200-16)=1,43996\times200 - 1,43996\times16.
1,43996\times200 = 287,992,\qquad 1,43996\times16 = 23,03936.
\text{numerador}\approx 287,992 - 23,03936 = 264,95264\\ \mathrm{MeV\cdot fm}.
Agora divida pelo valor da energia E:
r_{\min} \approx \frac{264,95264}{4,78}\\ \mathrm{fm}.
Fazendo a divisão:
\frac{264,95264}{4,78}\approx 55,45\\ \mathrm{fm}.

Passo 5

Converter para metros para termos uma noção em SI:
1\\ \mathrm{fm}=10^{-15}\\ \mathrm{m}\quad\Rightarrow\quad r_{\min}\approx 55,45\times10^{-15}\\ \mathrm{m}=5,545\times10^{-14}\\ \mathrm{m}.
Verificação da hipótese do enunciado: o raio típico de um núcleo de urânio é da ordem de R\sim r_0 A^{1/3} com r_0\approx1,2\\ \mathrm{fm} e A\approx238, o que dá R da ordem de 7 a 8\\ \mathrm{fm}. Nosso r_{\min}\approx55,45\\ \mathrm{fm} é muito maior que esse valor, então a suposição do enunciado (menor distância muito maior que o raio do núcleo) está satisfeita.

Resposta

r_{\min}\approx55,45\\ \mathrm{fm}=5,545\times10^{-14}\\ \mathrm{m}

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