Problema 15) Uma partícula alfa de 4,78 MeV , partindo de um decaimento de
, colide frontalmente com um núcleo de urânio, que possui 92 prótons.
(a) Qual é a distância da menor aproximação da partícula alfa ao centro do núcleo? Suponha que o núcleo do urânio permaneça em repouso e que a menor distância de aproximação seja muito maior que o raio do núcleo de urânio.
Passo 1
O enunciado pede a menor distância de aproximação (distância do centro do núcleo de urânio até a partícula alfa no ponto de viragem) para uma colisão frontal. Informações dadas:
- Energia cinética inicial da partícula alfa:
(valor obtido do decaimento de ). - Carga da partícula alfa: duas cargas elementares, ou seja
. - Núcleo de urânio com
prótons (logo carga ). - Suposição do enunciado: núcleo de urânio permanece em repouso e a menor distância de aproximação é muito maior que o raio do núcleo (isso será verificado ao final).
O que se pede: calcular
, a menor distância entre o centro do núcleo de urânio e a partícula alfa no choque frontal.
Passo 2
Princípio físico a usar (explicação didática): quando a partícula alfa se aproxima do núcleo carregado, sua energia cinética inicial vai sendo convertida em energia potencial eletrostática até o ponto de parada momentânea (ponto de menor aproximação), onde a velocidade é zero. Assim, pela conservação da energia (energia cinética inicial = energia potencial eletrostática no ponto de viragem), vale
Aqui:
-
é a energia cinética inicial da partícula (em ). -
é a energia potencial eletrostática entre duas cargas puntiformes separadas por , dada por
No nosso caso
e
, onde
é a carga elementar. Portanto, a relação que usaremos é
Explicando as constantes:
-
é a permissividade do vácuo. -
é a carga elementar ( ).
Para evitar ficar fazendo muitas conversões, é comum usar a constanteem unidades convenientes: . Isso significa que, se estiver em e em (femtômetros, ), a fórmula fica direta e prática.
Passo 3
Isolando
da expressão de conservação de energia, obtemos
Em unidades
e
isso se escreve de forma prática como
Aqui todas as quantidades são:
-
em , -
adimensional, -
em ,
resultandoem .
Passo 4
Substituindo os números:
-
, -
, -
, -
.
Calcule
:
Calcule o numerador:
Agora faça a multiplicação detalhada (passo a passo):
Agora divida pelo valor da energia
:
Fazendo a divisão:
Passo 5
Converter para metros para termos uma noção em SI:
Verificação da hipótese do enunciado: o raio típico de um núcleo de urânio é da ordem de
com
e
, o que dá
da ordem de
a
. Nosso
é muito maior que esse valor, então a suposição do enunciado (menor distância muito maior que o raio do núcleo) está satisfeita.