Problema A. 23 Considere a matriz

\mathbf{M}=\left(\begin{array}{ll} 1 & 1 \\\\ 1 & i \end{array}\right)
(a) Trata-se de uma matriz normal?
(b) Trata-se de uma matriz diagonalizável?

Passo 1

O enunciado dá a matriz
\mathbf{M}=\begin{pmatrix}1 & 1 \\[4pt] 1 & i\end{pmatrix}
e pergunta:
(a) \mathbf{M} é uma matriz normal?
(b) \mathbf{M} é diagonalizável?
Informações relevantes dadas: a matriz tem entradas complexas (aparece i, a unidade imaginária). Não há outras condições adicionais. A resolução seguirá verificando a definição de matriz normal e investigando os autovalores/autovetores para responder sobre diagonalizabilidade.]

Passo 2

Definição e procedimento para testar normalidade.
Uma matriz A (sobre \mathbb{C}) é chamada de normal se
A^*A = AA^*,
onde A^* é a transposta conjugada (conjugate transpose) de A. Para calcular A^* tomamos a transposta e conjugamos cada entrada (ou seja, trocamos linhas por colunas e substituímos i por -i quando aparece).
Aplicando isso a \mathbf{M}: primeiro escrevemos \mathbf{M} (já dado) e calculamos \mathbf{M}^*. A conjugação de i é -i, e a transposta troca linhas por colunas, então
\mathbf{M}^* = \begin{pmatrix}1 & 1 \\[4pt] 1 & -i\end{pmatrix}.]

Passo 3

Calculamos \mathbf{M}\mathbf{M}^*. Multiplicação de matrizes: entrada (j,k) do produto é o produto escalar da linha j de \mathbf{M} com a coluna k de \mathbf{M}^*. Então
\mathbf{M}\mathbf{M}^* = \begin{pmatrix}1 & 1 \\[4pt] 1 & i\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 & 1 \\[4pt] 1 & -i\end{pmatrix}.
Calculamos entrada a entrada:
  • (1,1):\; 1\cdot1 + 1\cdot1 = 2.
  • (1,2):\; 1\cdot1 + 1\cdot(-i) = 1 - i.
  • (2,1):\; 1\cdot1 + i\cdot1 = 1 + i.
  • (2,2):\; 1\cdot1 + i\cdot(-i) = 1 + (i\cdot -i) = 1 + 1 = 2 (pois i(-i)=-i^2=1).
    Portanto
\mathbf{M}\mathbf{M}^* = \begin{pmatrix}2 & 1 - i \\[4pt] 1 + i & 2\end{pmatrix}.]

Passo 4

Agora calculamos \mathbf{M}^*\mathbf{M}:
\mathbf{M}^*\mathbf{M} = \begin{pmatrix}1 & 1 \\[4pt] 1 & -i\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 & 1 \\[4pt] 1 & i\end{pmatrix}.
Entrada a entrada:
  • (1,1):\; 1\cdot1 + 1\cdot1 = 2.
  • (1,2):\; 1\cdot1 + 1\cdot i = 1 + i.
  • (2,1):\; 1\cdot1 + (-i)\cdot1 = 1 - i.
  • (2,2):\; 1\cdot1 + (-i)\cdot i = 1 + (-i\cdot i) = 1 + 1 = 2 (pois (-i)i=-i^2=1).
    Portanto
\mathbf{M}^*\mathbf{M} = \begin{pmatrix}2 & 1 + i \\[4pt] 1 - i & 2\end{pmatrix}.]

Passo 5

Comparação para decidir normalidade.
Comparando os resultados:
\mathbf{M}\mathbf{M}^* = \begin{pmatrix}2 & 1 - i \\[4pt] 1 + i & 2\end{pmatrix}, \qquad \mathbf{M}^*\mathbf{M} = \begin{pmatrix}2 & 1 + i \\[4pt] 1 - i & 2\end{pmatrix}.
As entradas fora da diagonal são diferentes ( 1-i \neq 1+i). Logo \mathbf{M}\mathbf{M}^* \neq \mathbf{M}^*\mathbf{M}, e portanto \mathbf{M} NÃO é normal.
(Intuição rápida: para matrizes normais as colunas formam um sistema ortonormal sob certa transformação — aqui a falta de igualdade mostra que a matriz não satisfaz essa propriedade.)]

Passo 6

Agora tratamos a diagonalizabilidade. Definição lembrada: uma matriz A é diagonalizável sobre \mathbb{C} se existe uma matriz invertível P tal que P^{-1}AP é diagonal. Uma condição prática útil: para matrizes 2\times2 (ou, em geral, n\times n), se os autovalores são distintos (ou seja, o polinômio característico tem raízes distintas), então há autovetores linearmente independentes suficientes e a matriz é diagonalizável.
Portanto vamos calcular o polinômio característico de \mathbf{M} e ver se as raízes são distintas.

Passo 7

Polinômio característico p(\lambda)=\det(\mathbf{M}-\lambda I). Escrevemos
\det\!\begin{pmatrix}1-\lambda & 1 \\[4pt] 1 & i-\lambda\end{pmatrix} = (1-\lambda)(i-\lambda) - 1\cdot1.
Expandindo:
p(\lambda) = (1-\lambda)(i-\lambda) - 1 = \lambda^2 - (1+i)\lambda + (i-1).]

Passo 8

Calculamos o discriminante do polinômio quadrático para verificar se as raízes são distintas. O discriminante é
\Delta = (1+i)^2 - 4(i-1).
Vamos calcular passo a passo:
(1+i)^2 = 1 + 2i + i^2 = 1 + 2i -1 = 2i,
e
-4(i-1) = -4i + 4.
Somando,
\Delta = 2i -4i + 4 = 4 - 2i.
Note que \Delta = 4 - 2i \neq 0 (porque 4 e -2i não se cancelam; o número não é o zero complexo). Como \Delta \neq 0, a equação quadrática tem duas raízes distintas em \mathbb{C}. As raízes são
\lambda = \frac{1+i \pm \sqrt{4 - 2i}}{2},
duas soluções diferentes.

Passo 9

Conclusão sobre diagonalizabilidade. Para uma matriz 2\times2 com dois autovalores distintos sobre \mathbb{C}, existem dois autovetores linearmente independentes, logo a matriz é diagonalizável sobre \mathbb{C}. Assim \mathbf{M} é diagonalizável (mas, relembrando, não é normal, então a diagonalização não pode, em geral, ser feita por uma matriz unitária — isto é, não é unitarily diagonalizable).

Resposta

(a) Não.
(b) Sim; \mathbf{M} é diagonalizável sobre \mathbb{C}.

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