Utilizando as equações cartesianas (3D) dos vetores vec{A}, \vec{B}, \vec{C} e vec{D}, mostre que são válidas as seguintes relações vetoriais:
(\vec{A} \times \vec{B}) \times(\vec{C} \times \vec{D})=[\vec{A} \bullet(\vec{C} \times \vec{D})] \vec{B}-[\vec{B} \bullet(\vec{C} \times \vec{D})] \vec{A}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar a identidade vetorial
(\vec{A}\times\vec{B})\times(\vec{C}\times\vec{D})=[\vec{A}\bullet(\vec{C}\times\vec{D})]\;\vec{B}-[\vec{B}\bullet(\vec{C}\times\vec{D})]\;\vec{A}
Usamos que \vec{A},\vec{B},\vec{C},\vec{D} são vetores em \mathbb{R}^3 dados pelas suas coordenadas cartesianas. Vou provar a identidade passo a passo trabalhando com componentes cartesianas (índices), e em seguida aplicar o resultado ao caso pedido. Não preciso de mais informações além das coordenadas gerais dos vetores.

Passo 2

Vamos introduzir a notação de componentes e duas ferramentas úteis:
  • Denotamos as componentes de um vetor qualquer \vec{X} por \vec{X}=(X_1,X_2,X_3).
  • O produto vetorial em componentes é dado por
(\vec{X}\times\vec{Y})_i=\varepsilon_{i j k}\,X_j\,Y_k,
onde \varepsilon_{i j k} é o símbolo de Levi-Civita (ou \emph{epsilon}), que vale +1 para permutações pares de (1,2,3), -1 para permutações ímpares, e 0 se houver índices repetidos. Aqui usamos a convenção de soma de Einstein: índices repetidos são somados de 1 a 3.
  • O delta de Kronecker \delta_{ij} vale 1 se i=j e 0 se i\neq j. Ele funciona como “identidade” para índices.
Vou usar também a identidade padrão que envolve dois epsilons contraídos em um índice:
\varepsilon_{i j k}\,\varepsilon_{j m n}=\delta_{i n}\,\delta_{k m}-\delta_{i m}\,\delta_{k n}.
Essa identidade é um resultado clássico e pode ser verificada diretamente expandindo os índices (ou lembrando propriedades de determinantes). Vou usá‑la para simplificar expressões com dois epsilons.

Passo 3

Primeiro eu demonstro a fórmula do produto triplo vetorial geral
(\vec{X}\times\vec{Y})\times\vec{Z}=\vec{Y}\,(\vec{X}\cdot\vec{Z})-\vec{X}\,(\vec{Y}\cdot\vec{Z}),
porque a identidade pedida é uma aplicação especial dessa fórmula.
Calculo a i-ésima componente do lado esquerdo usando componentes:
((\vec{X}\times\vec{Y})\times\vec{Z})_i=\varepsilon_{i j k}\,(\vec{X}\times\vec{Y})_j\,Z_k.
Substituo (\vec{X}\times\vec{Y})_j=\varepsilon_{j m n}\,X_m\,Y_n:
((\vec{X}\times\vec{Y})\times\vec{Z})_i=\varepsilon_{i j k}\,\varepsilon_{j m n}\,X_m\,Y_n\,Z_k.

Passo 4

Agora uso a identidade com os dois epsilons:
\varepsilon_{i j k}\,\varepsilon_{j m n}=\delta_{i n}\,\delta_{k m}-\delta_{i m}\,\delta_{k n}.
Substituindo na expressão anterior:
((\vec{X}\times\vec{Y})\times\vec{Z})_i=(\delta_{i n}\,\delta_{k m}-\delta_{i m}\,\delta_{k n})\,X_m\,Y_n\,Z_k.
Distribuo os deltas para resolver as somas (cada \delta apenas substitui um índice):
((\vec{X}\times\vec{Y})\times\vec{Z})_i=Y_i\,(X_k\,Z_k)-X_i\,(Y_n\,Z_n).
Aqui usei X_k Z_k=\vec{X}\cdot\vec{Z} e Y_n Z_n=\vec{Y}\cdot\vec{Z}. Portanto, transformando de volta em notação vetorial:
(\vec{X}\times\vec{Y})\times\vec{Z}=\vec{Y}\,(\vec{X}\cdot\vec{Z})-\vec{X}\,(\vec{Y}\cdot\vec{Z}).
Essa é a fórmula do produto triplo vetorial que eu prometi demonstrar.

Passo 5

Agora aplico essa fórmula ao caso do enunciado. Tome
\vec{X}=\vec{A},\qquad \vec{Y}=\vec{B},\qquad \vec{Z}=\vec{C}\times\vec{D}.
Substituindo na identidade que acabamos de obter:
(\vec{A}\times\vec{B})\times(\vec{C}\times\vec{D})=\vec{B}\,(\vec{A}\cdot(\vec{C}\times\vec{D}))-\vec{A}\,(\vec{B}\cdot(\vec{C}\times\vec{D})).
Note que \vec{A}\cdot(\vec{C}\times\vec{D}) e \vec{B}\cdot(\vec{C}\times\vec{D}) são produtos escalares (os chamados produtos mistos ou triplo escalar) e são escalares, então podem multiplicar os vetores \vec{B} e \vec{A}, respectivamente.

Resposta

(\vec{A}\times\vec{B})\times(\vec{C}\times\vec{D})=[\vec{A}\bullet(\vec{C}\times\vec{D})]\;\vec{B}-[\vec{B}\bullet(\vec{C}\times\vec{D})]\;\vec{A}

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