Utilizando as equações cartesianas (3D) dos vetores
e
, mostre que são válidas as seguintes relações vetoriais:
Passo 1
O enunciado pede para mostrar a identidade vetorial
Usamos que
são vetores em
dados pelas suas coordenadas cartesianas. Vou provar a identidade passo a passo trabalhando com componentes cartesianas (índices), e em seguida aplicar o resultado ao caso pedido. Não preciso de mais informações além das coordenadas gerais dos vetores.
Passo 2
Vamos introduzir a notação de componentes e duas ferramentas úteis:
- Denotamos as componentes de um vetor qualquer
por . - O produto vetorial em componentes é dado por
onde
é o símbolo de Levi-Civita (ou \emph{epsilon}), que vale
para permutações pares de
,
para permutações ímpares, e
se houver índices repetidos. Aqui usamos a convenção de soma de Einstein: índices repetidos são somados de
a
.
- O delta de Kronecker
vale se e se . Ele funciona como “identidade” para índices.
Vou usar também a identidade padrão que envolve dois epsilons contraídos em um índice:
Essa identidade é um resultado clássico e pode ser verificada diretamente expandindo os índices (ou lembrando propriedades de determinantes). Vou usá‑la para simplificar expressões com dois epsilons.
Passo 3
Primeiro eu demonstro a fórmula do produto triplo vetorial geral
porque a identidade pedida é uma aplicação especial dessa fórmula.
Calculo a
-ésima componente do lado esquerdo usando componentes:
Substituo
:
Passo 4
Agora uso a identidade com os dois epsilons:
Substituindo na expressão anterior:
Distribuo os deltas para resolver as somas (cada
apenas substitui um índice):
Aqui usei
e
. Portanto, transformando de volta em notação vetorial:
Essa é a fórmula do produto triplo vetorial que eu prometi demonstrar.
Passo 5
Agora aplico essa fórmula ao caso do enunciado. Tome
Substituindo na identidade que acabamos de obter:
Note que
e
são produtos escalares (os chamados produtos mistos ou triplo escalar) e são escalares, então podem multiplicar os vetores
e
, respectivamente.