Utilizando as equações cartesianas (3D) dos vetores vec{A}, \vec{B}, \vec{C} e vec{D}, mostre que são válidas as seguintes relações vetoriais:
(\vec{A} \times \vec{B}) \bullet(\vec{C} \times \vec{D})=(\vec{A} \bullet \vec{C})(\vec{B} \bullet \vec{D})-(\vec{A} \bullet \vec{D})(\vec{B} \bullet \vec{C})

Passo 1

O enunciado pede para mostrar a igualdade
(\vec{A}\times\vec{B})\cdot(\vec{C}\times\vec{D})=(\vec{A}\cdot\vec{C})(\vec{B}\cdot\vec{D})-(\vec{A}\cdot\vec{D})(\vec{B}\cdot\vec{C})
usando as equações cartesianas (componentes) dos vetores \vec{A},\vec{B},\vec{C},\vec{D} em \mathbb{R}^3.
Informações dadas que vamos usar:
\vec{A}=(A_1,A_2,A_3),\quad \vec{B}=(B_1,B_2,B_3),\quad \vec{C}=(C_1,C_2,C_3),\quad \vec{D}=(D_1,D_2,D_3).
Objetivo: a partir das componentes cartesianas e das fórmulas de produto vetorial e escalar, provar a identidade acima.

Passo 2

Definições em componentes (estas são as “fórmulas básicas” que vamos usar; explico cada uma):
\text{Produto escalar:}\qquad \vec{X}\cdot\vec{Y}=\sum_{i=1}^{3} X_i Y_i = X_1Y_1+X_2Y_2+X_3Y_3.
\text{Produto vetorial (componentes):}\qquad (\vec{A}\times\vec{B})_1=A_2B_3-A_3B_2,\quad (\vec{A}\times\vec{B})_2=A_3B_1-A_1B_3,\quad (\vec{A}\times\vec{B})_3=A_1B_2-A_2B_1.
Uma forma compacta e muito útil para trabalhar com componentes usa o símbolo de Levi-Civita \varepsilon_{ijk}. Vou explicá-lo:
  • O símbolo \varepsilon_{ijk} vale +1 se (i,j,k) é uma permutação par de (1,2,3), vale -1 se é permutação ímpar, e vale 0 se dois índices são iguais.
  • Em termos de componentes do produto vetorial:
(\vec{A}\times\vec{B})_i=\sum_{j=1}^{3}\sum_{k=1}^{3}\varepsilon_{ijk}\,A_j\,B_k.
  • O delta de Kronecker \delta_{ij} é definido por \delta_{ij}=1 se i=j e \delta_{ij}=0 se i\ne j. Ele atua como “identidade” ao contrair índices: \sum_i \delta_{i j} X_i = X_j.
Vou usar também a convenção de somatório (índices repetidos somam de 1 a 3) para deixar as expressões limpas; quando um índice aparece duas vezes em um termo, entendido que somamos sobre ele.

Passo 3

Apresento uma identidade muito útil envolvendo \varepsilon e \delta. Ela pode ser verificada caso a caso ou vista como resultado da expansão de determinantes; o importante é saber que vale para todos os índices:
\varepsilon_{ijk}\,\varepsilon_{imn}=\delta_{jm}\,\delta_{kn}-\delta_{jn}\,\delta_{km}.
Interpretação rápida: ao somar sobre i o produto de dois \varepsilon, obtemos uma diferença de produtos de deltas. Essa identidade é a chave para transformar produtos de vetoriais em produtos escalares.

Passo 4

Agora calculamos o lado esquerdo usando as representações em componentes com \varepsilon.
Começamos por escrever
(\vec{A}\times\vec{B})\cdot(\vec{C}\times\vec{D})=\sum_{i=1}^{3} (\vec{A}\times\vec{B})_i\,(\vec{C}\times\vec{D})_i.
Usando a expressão em termos de \varepsilon para cada componente:
(\vec{A}\times\vec{B})\cdot(\vec{C}\times\vec{D}) =\big(\varepsilon_{ijk}A_jB_k\big)\big(\varepsilon_{imn}C_mD_n\big),
onde indices repetidos i,j,k,m,n são somados de 1 a 3.
Aplicamos a identidade do Passo 3 contra o produto \varepsilon_{ijk}\varepsilon_{imn}:
(\vec{A}\times\vec{B})\cdot(\vec{C}\times\vec{D}) =(\delta_{jm}\delta_{kn}-\delta_{jn}\delta_{km})\,A_jB_kC_mD_n.
Agora usamos a propriedade do delta para contrair índices: \delta_{jm}A_jC_m=A_jC_j=\vec{A}\cdot\vec{C}, e análogas para os outros pares. Aplicando isso em cada termo:
(\vec{A}\times\vec{B})\cdot(\vec{C}\times\vec{D}) = A_jC_j \; B_kD_k \;-\; A_jD_j \; B_kC_k.
Reescrevendo em notação de produto escalar:
(\vec{A}\times\vec{B})\cdot(\vec{C}\times\vec{D}) =(\vec{A}\cdot\vec{C})(\vec{B}\cdot\vec{D})-(\vec{A}\cdot\vec{D})(\vec{B}\cdot\vec{C}).
Explicando a passagem final de forma bem explícita:
  • A_jC_j é exatamente \vec{A}\cdot\vec{C}.
  • B_kD_k é exatamente \vec{B}\cdot\vec{D}.
  • A_jD_j é \vec{A}\cdot\vec{D}.
  • B_kC_k é \vec{B}\cdot\vec{C}.
Portanto a expressão se reduz à combinação indicada no enunciado.

Resposta

(\vec{A}\times\vec{B})\cdot(\vec{C}\times\vec{D})=(\vec{A}\cdot\vec{C})(\vec{B}\cdot\vec{D})-(\vec{A}\cdot\vec{D})(\vec{B}\cdot\vec{C})

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