Utilizando as equações cartesianas (3D) dos vetores
e
, mostre que são válidas as seguintes relações vetoriais:
Passo 1
O enunciado pede para mostrar a igualdade
usando as equações cartesianas (componentes) dos vetores
em
.
Informações dadas que vamos usar:
Objetivo: a partir das componentes cartesianas e das fórmulas de produto vetorial e escalar, provar a identidade acima.
Passo 2
Definições em componentes (estas são as “fórmulas básicas” que vamos usar; explico cada uma):
Uma forma compacta e muito útil para trabalhar com componentes usa o símbolo de Levi-Civita
. Vou explicá-lo:
- O símbolo
vale se é uma permutação par de , vale se é permutação ímpar, e vale se dois índices são iguais. - Em termos de componentes do produto vetorial:
- O delta de Kronecker
é definido por se e se . Ele atua como “identidade” ao contrair índices: .
Vou usar também a convenção de somatório (índices repetidos somam de
a
) para deixar as expressões limpas; quando um índice aparece duas vezes em um termo, entendido que somamos sobre ele.
Passo 3
Apresento uma identidade muito útil envolvendo
e
. Ela pode ser verificada caso a caso ou vista como resultado da expansão de determinantes; o importante é saber que vale para todos os índices:
Interpretação rápida: ao somar sobre
o produto de dois
, obtemos uma diferença de produtos de deltas. Essa identidade é a chave para transformar produtos de vetoriais em produtos escalares.
Passo 4
Agora calculamos o lado esquerdo usando as representações em componentes com
.
Começamos por escrever
Usando a expressão em termos de
para cada componente:
onde indices repetidos
são somados de
a
.
Aplicamos a identidade do Passo 3 contra o produto
:
Agora usamos a propriedade do delta para contrair índices:
, e análogas para os outros pares. Aplicando isso em cada termo:
Reescrevendo em notação de produto escalar:
Explicando a passagem final de forma bem explícita:
-
é exatamente . -
é exatamente . -
é . -
é .
Portanto a expressão se reduz à combinação indicada no enunciado.