Problema 24. Mostre que o produto misto satisfaz as propriedades:
a troca de dois vetores muda o sinal do produto misto.
Comente o significado geométrico do sinal do produto misto.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
Mostrar que a troca de dois vetores muda o sinal do produto misto.
Comentar o significado geométrico do sinal do produto misto.
Informações relevantes (definições/representações que usarei; são dados padrão que o problema supõe conhecidos):
Para vetores \mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}\in\mathbb{R}^3, o produto misto é definido por
Propriedades úteis que posso usar: o produto vetorial é anticomutativo, isto é \mathbf{u}\times\mathbf{v} = -(\mathbf{v}\times\mathbf{u}); o produto escalar é comutativo \mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=\mathbf{v}\cdot\mathbf{u}; e a troca de duas linhas (ou colunas) de um determinante troca o sinal do determinante.]
Passo 2
Primeira demonstração direta e simples: trocar os dois primeiros vetores.
Começo lembrando a anticomutatividade do produto vetorial e a comutatividade do produto escalar:
Isso já prova, para a troca dos dois primeiros vetores, que o sinal inverte. A ideia chave usada foi só a anticomutatividade do \times.
Passo 3
Agora mostrar a propriedade para a troca de quaisquer dois vetores (qualquer par): estratégia via representação por determinante (essa é a maneira mais direta e geral).
Primeiro explicito a igualdade entre o produto misto e o determinante (mostro passo a passo como ver isso, para você poder reproduzir na prova):
Calcule as componentes do produto vetorial \mathbf{a}\times\mathbf{b}:
Usar a propriedade dos determinantes para concluir a mudança de sinal.
Trocar duas linhas (ou duas colunas) de um determinante multiplica o determinante por -1. Trocar dois vetores na representação acima corresponde exatamente a trocar duas linhas da matriz cujas linhas são as componentes de \mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}. Por exemplo:
Trocar \mathbf{a} e \mathbf{b} troca a linha 1 com a linha 2, então o determinante muda de sinal. Já mostramos esse caso diretamente, e a interpretação por determinante confirma.
Trocar \mathbf{a} e \mathbf{c} troca a linha 1 com a linha 3; novamente o determinante muda de sinal.
Trocar \mathbf{b} e \mathbf{c} troca a linha 2 com a linha 3; novamente o determinante muda de sinal.
Assim, trocar quaisquer dois vetores em [\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}] produz -[\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}]. Em notação:
[\mathbf{v}_i,\mathbf{v}_j,\mathbf{v}_k] = -[\mathbf{v}_j,\mathbf{v}_i,\mathbf{v}_k] \quad\text{(troca de \(i\) e \(j\)).}
Passo 5
Observação adicional (útil na prova): invariância por permutações cíclicas.
Uma permutação cíclica de (\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}) — por exemplo (\mathbf{b},\mathbf{c},\mathbf{a}) — corresponde a um ciclo de três linhas no determinante, que é uma permutação de paridade par (um ciclo de comprimento 3 é equivalente a duas transposições), portanto
Isso explica por que apenas trocas (transposições) individuais invertem o sinal, enquanto rotações cíclicas não.
Passo 6
Exemplo numérico rápido para fixar a intuição (faça isto na prova se quiser checar): tome \mathbf{e}_1=(1,0,0), \mathbf{e}_2=(0,1,0), \mathbf{e}_3=(0,0,1). Então
[\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\mathbf{e}_3] = 1.
Trocando \mathbf{e}_1 e \mathbf{e}_2,
[\mathbf{e}_2,\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_3] = -1,
mostrando concretamente a inversão de sinal.
Passo 7
Interpretação geométrica do sinal (resposta didática e prática para a prova):
O valor absoluto |[\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}]| é o volume do paralelepípedo gerado por \mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}.
O sinal (positivo ou negativo) indica a orientação desses três vetores: se a ordem (\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}) forma um sistema de orientação “direita” (right-handed), o produto misto é positivo; se a ordem forma orientação “esquerda” (left-handed), o produto misto é negativo.
Trocar dois vetores muda a orientação (uma permutação ímpar inverte a orientação), por isso troca o sinal do produto misto. Uma forma prática de visualizar: use a regra da mão direita para \mathbf{a}\times\mathbf{b}: o vetor \mathbf{a}\times\mathbf{b} aponta “para cima” ou “para baixo” dependendo da ordem; então o produto escalar com \mathbf{c} fica positivo ou negativo conforme \mathbf{c} esteja do mesmo lado ou do lado oposto, o que muda quando trocamos a ordem de \mathbf{a} e \mathbf{b}.
Resposta
A troca de dois vetores muda o sinal do produto misto: [\mathbf{v}_i,\mathbf{v}_j,\mathbf{v}_k]=-[\mathbf{v}_j,\mathbf{v}_i,\mathbf{v}_k] (valendo para qualquer par trocado).
Geometricamente, |[\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}]| é o volume do paralelepípedo gerado por \mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}, e o sinal informa a orientação (positiva = orientação direita, negativa = orientação esquerda); trocar dois vetores inverte essa orientação e, portanto, inverte o sinal.