Problema 24 Resolva a inequação 2 x^2+x-12 x-x^2 <= 0 em Re.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação
2x^2 + x - 12x - x^2 ;<=; 0
em R. O conteúdo principal é inequação racional, e vamos precisar de: (1) achar as raízes do numerador, (2) achar as raízes do denominador para determinar o domínio, (3) construir uma tabela de sinais e (4) identificar onde a fração é não positiva.

Passo 2

Determinamos as raízes do numerador resolvendo
2x^2 + x - 1 = 0
Pela fórmula de Bhaskara,
x = -1 pm raiz1 + 84 = -1 pm 34,
logo as soluções são
x = -1 e x = tfrac12
Esses valores anulam o numerador.

Passo 3

Analisamos o denominador
2x - x^2 = x(2 - x)
As raízes são
x = 0 e x = 2,
e nesses pontos a fração não está definida (domínio exclui 0 e 2).

Passo 4

Dividimos a reta em cinco intervalos pelos pontos críticos -1, 0, tfrac12 e 2 e testamos o sinal de
2x^2 + x - 12x - x^2
em cada intervalo:
  • Em (-infty,-1): fração negativa.
  • Em (-1,0): fração positiva.
  • Em (0,tfrac12): fração negativa.
  • Em (tfrac12,2): fração positiva.
  • Em (2,infty): fração negativa.

Passo 5

Queremos os x tais que a fração seja <= 0. Logo mantemos os intervalos onde ela é negativa e adicionamos os zeros do numerador ( x=-1 e x=tfrac12), mas não podemos incluir x=0 nem x=2.

Resposta

(-infty,,-1];cup;(0,;tfrac12];cup;(2,;infty)

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