Exercício 10. (Apostol, capítulo 9.13, exercício 18) Determine os valores críticos, mínimos máximos… da função
no quadrado
.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar os pontos críticos de
no quadrado fechado
, e depois determinar quais são máximos, mínimos ou outros tipos de ponto extremo. Vamos usar cálculo de derivadas parciais para achar pontos críticos no interior, e depois estudar as bordas
,
,
e
.
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais e igualamos a zero:
No interior temos
e
, logo as equações críticas são
Subtraindo uma da outra chega-se a
; usando em qualquer uma obtemos
,
. Como estamos em
, fica
Passo 3
Para classificar
, calculamos a Hessiana:
Em
vale
O determinante da Hessiana é
e
. Portanto
é ponto de máximo local. O valor ali é
Passo 4
Agora as bordas do quadrado:
-
Em
ou em temos identicamente. -
Em
:
O mínimo restrito é
em
e o máximo restrito é
em
.
- Em
:
Novamente o mínimo restrito é
em
e o máximo é
em
.
Nos vértices confirmamos:
Passo 5
Comparando todos os valores:
- O máximo global ocorre em
com . - O mínimo global ocorre em
com . - Nas demais bordas e vértices há valores entre
e , sem ultrapassar esses extremos.
Resposta
Ponto crítico interior:
, máximo local (e global) com valor
.
Mínimo global em com
.
Nas bordas ou
temos
, e nas bordas
ou
o valor varia de
a
.
Mínimo global em
Nas bordas