Exercício 10. (Apostol, capítulo 9.13, exercício 18) Determine os valores críticos, mínimos máximos… da função f(x, y)=x y(1-x^2-y^2) no quadrado [0,1] times[0,1].

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os pontos críticos de
f(x,y)=x,yl(1 - x^2 - y^2r)
no quadrado fechado [0,1]times[0,1], e depois determinar quais são máximos, mínimos ou outros tipos de ponto extremo. Vamos usar cálculo de derivadas parciais para achar pontos críticos no interior, e depois estudar as bordas x=0, x=1, y=0 e y=1.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais e igualamos a zero:
fx = partial fpartial x = yl(1 - x^2 - y^2r) + x,y,(-2x) = yl(1 - 3x^2 - y^2r),
fy = partial fpartial y = xl(1 - x^2 - y^2r) + x,y,(-2y) = xl(1 - x^2 - 3y^2r)
No interior temos x>0 e y>0, logo as equações críticas são
1 - 3x^2 - y^2 = 0, 1 - x^2 - 3y^2 = 0
Subtraindo uma da outra chega-se a x^2 = y^2; usando em qualquer uma obtemos x^2 = 1/4, y^2 = 1/4. Como estamos em [0,1], fica
(x,y) = l(tfrac12,tfrac12r)

Passo 3

Para classificar (tfrac12,tfrac12), calculamos a Hessiana:
fxx = partialpartial x(fx) = -6,x,y, fyy = -6,x,y, fxy = partialpartial y(fx) = 1 - 3x^2 - 3y^2
Em (tfrac12,tfrac12) vale
fxx = fyy = -6cdottfrac12cdottfrac12 = -tfrac32, fxy = 1 - 3!cdottfrac14 - 3!cdottfrac14 = -tfrac12
O determinante da Hessiana é
D = fxx,fyy - (fxy)^2 = l(-tfrac32r)^2 - l(-tfrac12r)^2 = tfrac94 - tfrac14 = 2 > 0,
e fxx<0. Portanto (tfrac12,tfrac12) é ponto de máximo local. O valor ali é
fl(tfrac12,tfrac12r) = tfrac12cdottfrac12l(1 - tfrac14 - tfrac14r) = tfrac14cdottfrac12 = tfrac18

Passo 4

Agora as bordas do quadrado:
  1. Em x=0 ou em y=0 temos f=0 identicamente.
  2. Em x=1:
f(1,y) = 1cdot yl(1 - 1 - y^2r) = -y^3, yin[0,1]
O mínimo restrito é -1 em y=1 e o máximo restrito é 0 em y=0.
  1. Em y=1:
f(x,1) = xcdot1l(1 - x^2 - 1r) = -x^3, xin[0,1]
Novamente o mínimo restrito é -1 em x=1 e o máximo é 0 em x=0.
Nos vértices confirmamos:
f(0,0)=0,;f(1,0)=0,;f(0,1)=0,;f(1,1)=-1

Passo 5

Comparando todos os valores:
  • O máximo global ocorre em l(tfrac12,tfrac12r) com f=tfrac18.
  • O mínimo global ocorre em (1,1) com f=-1.
  • Nas demais bordas e vértices há valores entre -1 e 0, sem ultrapassar esses extremos.

Resposta

Ponto crítico interior:
l(tfrac12,tfrac12r), máximo local (e global) com valor f=tfrac18.
Mínimo global em (1,1) com f=-1.
Nas bordas x=0 ou y=0 temos f=0, e nas bordas x=1 ou y=1 o valor varia de 0 a -1.

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