Calcule o comprimento de arco das curvas parametrizadas dadas a seguir:
lx(t)=t cos t y(t)=t sin t 0 <= t <= pi

Passo 1

O enunciado pede o comprimento de arco da curva paramétrica
x(t)=tcos t, y(t)=tsin t, 0<= t<= pi
O conteúdo aqui é “comprimento de curva parametrizada” e vamos usar a fórmula
L=integrala^braizl(x'(t)r)^2+l(y'(t)r)^2;dt,
além de calcular as derivadas x'(t) e y'(t).

Passo 2

Calculamos as derivadas de x(t) e y(t):
x'(t)=ddtl(tcos tr)=cos t - tsin t,
y'(t)=ddtl(tsin tr)=sin t + tcos t

Passo 3

Agora formamos
l(x'(t)r)^2+l(y'(t)r)^2 =(cos t - tsin t)^2+(sin t + tcos t)^2
Ao expandir e somar, os termos cruzados se cancelam e obtemos
cos^2t + sin^2t + t^2(sin^2t + cos^2t) =1 + t^2
Logo
raizl(x'(t)r)^2+l(y'(t)r)^2 =raiz1+t^2

Passo 4

A integral do comprimento torna-se
L=integral0^piraiz1+t^2;dt

Passo 5

Para calcular
integralraiz1+t^2;dt,
podemos usar a primitiva padrão
integralraiz1+t^2;dt =t2raiz1+t^2 +12lnl(t+raiz1+t^2r)+C

Passo 6

Avaliamo-la de 0 a pi:
L =[t2raiz1+t^2 +12lnl(t+raiz1+t^2r)]0^pi =pi2raiz1+pi^2 +12ln!l(pi+raiz1+pi^2r) -l(0+12ln(0+1)r)
Como ln1=0, ficamos com

Resposta

L =pi2raiz1+pi^2 +12ln!l(pi+raiz1+pi^2r)

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