Calcule o comprimento de arco das curvas parametrizadas dadas a seguir:
lx(t)=12 t^2+t y(t)=12 t^2-t 0 <= t <= 2

Passo 1

Então, a gente tem a curva parametrizada por
x(t)=12t^2+t, y(t)=12t^2-t, 0<= t<=2,
e quer o comprimento de arco. O conteúdo aqui é comprimento de curva em coordenadas paramétricas, que usa a fórmula
L=integrala^braizl(x'(t)r)^2+l(y'(t)r)^2,dt

Passo 2

Vamos calcular as derivadas:
x'(t)=t+1, y'(t)=t-1

Passo 3

Formamos o integrando:
raizl(x'(t)r)^2+l(y'(t)r)^2 =raiz(t+1)^2+(t-1)^2 =raiz2t^2+2 =raiz2,raizt^2+1

Passo 4

Logo o comprimento é
L=integral0^2raiz2,raizt^2+1,dt =raiz2integral0^2raizt^2+1,dt

Passo 5

Sabemos que
integralraizt^2+1,dt =t2raizt^2+1+12lnl(t+raizt^2+1r)+C
Então
integral0^2raizt^2+1,dt =l[t2raizt^2+1+12lnl(t+raizt^2+1r)r]0^2 =raiz5+12lnl(2+raiz5r)

Passo 6

Multiplicando por raiz2, concluímos
L =raiz2l(raiz5+12lnl(2+raiz5r)r) =raiz10+raiz22lnl(2+raiz5r)

Resposta

L=raiz10+raiz22lnl(2+raiz5r)

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