Problema 25. Mostre que
e
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que os dois conjuntos abaixo são iguais:
e
Informações dadas:
e
são conjuntos quaisquer. Não há outros dados numéricos ou figuras. O objetivo é provar igualdade entre conjuntos; ou seja, provar que cada lado está contido no outro.
Passo 2
Relembrando definições (úteis e simples):
- A potência (ou conjunto das partes) de um conjunto
é o conjunto de todos os subconjuntos de . Assim, por definição,
- A notação
significa o conjunto formado por todos os elementos que pertencem a ou a (ou a ambos). - A notação
significa o conjunto dos elementos que pertencem simultaneamente a e a . - Para mostrar que dois conjuntos
e são iguais é suficiente mostrar duas inclusões: e . Vou seguir exatamente esse caminho.
Passo 3
Provar a inclusão
Tomemos um elemento arbitrário
. Pela definição de potência, isso significa que
Agora definimos dois conjuntos a partir de
:
Explico por que essa é uma boa escolha:
- Por construção,
e (interseção com dá subconjunto de , idem para ). - Vou mostrar que
. Se isso for verdade, então é exatamente um conjunto da forma com e , o que prova a inclusão desejada.
Mostrando
. Seja
. Como
, tem-se
, logo
ou
.
- Se
, então , portanto . - Se
, então , portanto .
Assim qualquerpertence a , ou seja .
Mostrando
. Seja
. Então
ou
.
- Se
, então , logo . - Se
, então , logo .
Portanto.
Juntando as duas inclusões obtemos
. Consequentemente
está na forma pedida com
e
. Como
foi arbitrário em
, provamos
Passo 4
Provar a inclusão inversa
Tomemos um elemento arbitrário da parte direita, ou seja
e
tais que
e
. Considere
. Para mostrar que
precisamos mostrar
.
Se
, então
ou
.
- Se
, como , temos , logo . - Se
, como , temos , logo .
Assim todo elemento depertence a , ou seja . Pela definição de potência, isso significa .
Como
e
foram escolhas arbitrárias subject to
e
, concluímos que todo elemento do conjunto da direita pertence a
. Portanto
Passo 5
Juntando as duas inclusões provadas nos passos anteriores temos
Para fixar a intuição, um exemplo simples: se
e
, então
e a potência
contém, por exemplo,
; no lado direito podemos tomar
e
e obter
. O argumento geral provado acima funciona exatamente dessa forma para qualquer subconjunto de
.