Problema 25. Mostre que \wp(A \cup B)=\{X \cup Y \mid X \subset A e Y \subset B\}.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que os dois conjuntos abaixo são iguais:
\wp(A\cup B)
e
\{\,X\cup Y \mid X \subset A \text{ e } Y \subset B\,\}.
Informações dadas: A e B são conjuntos quaisquer. Não há outros dados numéricos ou figuras. O objetivo é provar igualdade entre conjuntos; ou seja, provar que cada lado está contido no outro.

Passo 2

Relembrando definições (úteis e simples):
  • A potência (ou conjunto das partes) de um conjunto S é o conjunto de todos os subconjuntos de S. Assim, por definição,
\wp(S)=\{Z \mid Z \subset S\}.
  • A notação X\cup Y significa o conjunto formado por todos os elementos que pertencem a X ou a Y (ou a ambos).
  • A notação X\cap Y significa o conjunto dos elementos que pertencem simultaneamente a X e a Y.
  • Para mostrar que dois conjuntos U e V são iguais é suficiente mostrar duas inclusões: U\subset V e V\subset U. Vou seguir exatamente esse caminho.

Passo 3

Provar a inclusão
\wp(A\cup B)\subset \{\,X\cup Y \mid X \subset A \text{ e } Y \subset B\,\}.
Tomemos um elemento arbitrário Z\in\wp(A\cup B). Pela definição de potência, isso significa que
Z\subset A\cup B.
Agora definimos dois conjuntos a partir de Z:
X := Z\cap A,\qquad Y := Z\cap B.
Explico por que essa é uma boa escolha:
  • Por construção, X\subset A e Y\subset B (interseção com A dá subconjunto de A, idem para B).
  • Vou mostrar que Z=X\cup Y. Se isso for verdade, então Z é exatamente um conjunto da forma X\cup Y com X\subset A e Y\subset B, o que prova a inclusão desejada.
Mostrando Z\subset X\cup Y. Seja z\in Z. Como Z\subset A\cup B, tem-se z\in A\cup B, logo z\in A ou z\in B.
  • Se z\in A, então z\in Z\cap A=X, portanto z\in X\cup Y.
  • Se z\in B, então z\in Z\cap B=Y, portanto z\in X\cup Y.
    Assim qualquer z\in Z pertence a X\cup Y, ou seja Z\subset X\cup Y.
Mostrando X\cup Y\subset Z. Seja w\in X\cup Y. Então w\in X ou w\in Y.
  • Se w\in X, então w\in Z\cap A, logo w\in Z.
  • Se w\in Y, então w\in Z\cap B, logo w\in Z.
    Portanto X\cup Y\subset Z.
Juntando as duas inclusões obtemos Z=X\cup Y. Consequentemente Z está na forma pedida com X\subset A e Y\subset B. Como Z foi arbitrário em \wp(A\cup B), provamos
\wp(A\cup B)\subset \{\,X\cup Y \mid X \subset A \text{ e } Y \subset B\,\}.

Passo 4

Provar a inclusão inversa
\{\,X\cup Y \mid X \subset A \text{ e } Y \subset B\,\}\subset \wp(A\cup B).
Tomemos um elemento arbitrário da parte direita, ou seja X e Y tais que X\subset A e Y\subset B. Considere X\cup Y. Para mostrar que X\cup Y\in\wp(A\cup B) precisamos mostrar X\cup Y\subset A\cup B.
Se t\in X\cup Y, então t\in X ou t\in Y.
  • Se t\in X, como X\subset A, temos t\in A, logo t\in A\cup B.
  • Se t\in Y, como Y\subset B, temos t\in B, logo t\in A\cup B.
    Assim todo elemento de X\cup Y pertence a A\cup B, ou seja X\cup Y\subset A\cup B. Pela definição de potência, isso significa X\cup Y\in\wp(A\cup B).
Como X e Y foram escolhas arbitrárias subject to X\subset A e Y\subset B, concluímos que todo elemento do conjunto da direita pertence a \wp(A\cup B). Portanto
\{\,X\cup Y \mid X \subset A \text{ e } Y \subset B\,\}\subset \wp(A\cup B).

Passo 5

Juntando as duas inclusões provadas nos passos anteriores temos
\wp(A\cup B)=\{\,X\cup Y \mid X \subset A \text{ e } Y \subset B\,\}.
Para fixar a intuição, um exemplo simples: se A=\{1,2\} e B=\{2,3\}, então A\cup B=\{1,2,3\} e a potência \wp(A\cup B) contém, por exemplo, \{1,3\}; no lado direito podemos tomar X=\{1\}\subset A e Y=\{3\}\subset B e obter X\cup Y=\{1,3\}. O argumento geral provado acima funciona exatamente dessa forma para qualquer subconjunto de A\cup B.

Resposta

\wp(A \cup B)=\{X \cup Y \mid X \subset A \text{ e } Y \subset B\}

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