Problema 27. Defina
e tome os conjuntos
e
. Sabendo que
e
mostre que
Passo 1
O enunciado dá as definições e os conjuntos abaixo (todos os símbolos e conjuntos a seguir foram extraídos do enunciado):
- Definição:
(interseção de todos os elementos de ). -
. -
. -
. -
.
O que se pede: mostrar que
Passo 2
Vamos primeiro explicitar
e
para perceber relações entre eles.
Pelo enunciado,
E
Como
, podemos reescrever
como
Portanto
contém tanto
quanto
. Em particular, observe que
porque
tem exatamente um elemento (que é
) enquanto
tem dois elementos (
e
).
Passo 3
Calcular
. Os elementos de
são os dois conjuntos
e
. Assim
Para encontrar essa interseção, listamos os elementos de cada conjunto:
-
tem os elementos e . -
tem os elementos e .
O elemento comum a ambos é só
. Nem
nem
pertencem simultaneamente aos dois conjuntos (pois
e
). Logo
Passo 4
Calcular
. Os elementos de
são
e
. Assim
Os elementos desses conjuntos são:
-
tem e . -
tem e .
O único elemento comum é
. Logo
Passo 5
Calcular
. Usando os resultados dos passos anteriores,
Como já vimos em
Passo 6
Passo 7
Calcular
e depois
.
Os elementos de
são
e
.
Os elementos de são
e
.
Os elementos de
O único conjunto que aparece em ambos
e
é
. Portanto
isto é,
é o conjunto singleton cujo único elemento é
.
Agora a definição de
aplicada a um conjunto com um único elemento dá que a interseção de todos os elementos desse conjunto é exatamente esse elemento único. Logo
Passo 8
Comparar os dois lados obtidos:
- Pelo
Passo 9
- Pelo
Passo 10
Portanto