Problema 27. Defina \bigcap X=\bigcap_{Y \in X} Y e tome os conjuntos A=\{\{\varnothing, b\},\{a, b\}\} e B= \{\{\varnothing, a\},\{a, b\}\}. Sabendo que a=\{\varnothing\} e b=\{\varnothing,\{\varnothing\}\} mostre que
(\bigcap A) \cap(\bigcap B) \neq \bigcap(A \cap B) .

Passo 1

O enunciado dá as definições e os conjuntos abaixo (todos os símbolos e conjuntos a seguir foram extraídos do enunciado):
  • Definição: \bigcap X=\bigcap_{Y\in X} Y (interseção de todos os elementos de X).
  • A=\{\{\varnothing, b\},\{a, b\}\}.
  • B=\{\{\varnothing, a\},\{a, b\}\}.
  • a=\{\varnothing\}.
  • b=\{\varnothing,\{\varnothing\}\}.
O que se pede: mostrar que
(\bigcap A) \cap(\bigcap B) \neq \bigcap(A \cap B).

Passo 2

Vamos primeiro explicitar a e b para perceber relações entre eles.
Pelo enunciado,
a=\{\varnothing\}.
E
b=\{\varnothing,\{\varnothing\}\}.
Como \{\varnothing\}=a, podemos reescrever b como
b=\{\varnothing,a\}.
Portanto b contém tanto \varnothing quanto a. Em particular, observe que a\neq b porque a tem exatamente um elemento (que é \varnothing) enquanto b tem dois elementos ( \varnothing e a).

Passo 3

Calcular \bigcap A. Os elementos de A são os dois conjuntos \{\varnothing,b\} e \{a,b\}. Assim
\bigcap A=\{\varnothing,b\}\cap\{a,b\}.
Para encontrar essa interseção, listamos os elementos de cada conjunto:
  • \{\varnothing,b\} tem os elementos \varnothing e b.
  • \{a,b\} tem os elementos a e b.
O elemento comum a ambos é só b. Nem \varnothing nem a pertencem simultaneamente aos dois conjuntos (pois \varnothing\notin\{a,b\} e a\notin\{\varnothing,b\}). Logo
\bigcap A=\{b\}.

Passo 4

Calcular \bigcap B. Os elementos de B são \{\varnothing,a\} e \{a,b\}. Assim
\bigcap B=\{\varnothing,a\}\cap\{a,b\}.
Os elementos desses conjuntos são:
  • \{\varnothing,a\} tem \varnothing e a.
  • \{a,b\} tem a e b.
O único elemento comum é a. Logo
\bigcap B=\{a\}.

Passo 5

Calcular (\bigcap A)\cap(\bigcap B). Usando os resultados dos passos anteriores,
(\bigcap A)\cap(\bigcap B)=\{b\}\cap\{a\}.
Como já vimos em

Passo 6

(\bigcap A)\cap(\bigcap B)=\varnothing.

Passo 7

Calcular A\cap B e depois \bigcap(A\cap B).
Os elementos de A são \{\varnothing,b\} e \{a,b\}.
Os elementos de B são \{\varnothing,a\} e \{a,b\}.
O único conjunto que aparece em ambos A e B é \{a,b\}. Portanto
A\cap B=\{\{a,b\}\},
isto é, A\cap B é o conjunto singleton cujo único elemento é \{a,b\}.
Agora a definição de \bigcap X aplicada a um conjunto com um único elemento dá que a interseção de todos os elementos desse conjunto é exatamente esse elemento único. Logo
\bigcap(A\cap B)=\{a,b\}.

Passo 8

Comparar os dois lados obtidos:
  • Pelo

Passo 9

  • Pelo

Passo 10

Portanto
(\bigcap A)\cap(\bigcap B)\neq\bigcap(A\cap B).

Resposta

(\bigcap A)\cap(\bigcap B)=\varnothing\neq\{a,b\}=\bigcap(A\cap B)

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