Sejam mathscr{X}=\left\{X_{i} \mid i \in I\right\} e \mathscr{A}=\left\{A_{i} \mid i \in I\right\} duas famílias de conjuntos indexamos em I, tais que X_{i} \subset A_{i} para todo i \in I. Mostre que
\bigcap \mathscr{X} \subset \bigcap \mathscr{A}.

Passo 1

O enunciado dá duas famílias de conjuntos indexadas pelo mesmo conjunto I:
  • \mathscr{X}=\left\{X_{i}\mid i\in I\right\};
  • \mathscr{A}=\left\{A_{i}\mid i\in I\right\}.
A hipótese é que, para todo i\in I,
X_{i}\subset A_{i}.
O que se pede é mostrar a inclusão entre as interseções das duas famílias, ou seja provar que
\bigcap \mathscr{X}\subset \bigcap \mathscr{A}.

Passo 2

Vamos lembrar a definição de interseção de uma família de conjuntos (essa é a arma principal que vamos usar).
A interseção da família \mathscr{X} é o conjunto de todos os elementos que pertencem a cada membro da família. Em notação:
\bigcap \mathscr{X}=\bigcap_{i\in I} X_i=\{\,x \mid \forall i\in I,\\ x\in X_i\,\}.
Analogamente,
\bigcap \mathscr{A}=\bigcap_{i\in I} A_i=\{\,x \mid \forall i\in I,\\ x\in A_i\,\}.

Passo 3

Também vamos lembrar a definição de subconjunto: dizer que um conjunto B é subconjunto de C (escrever B\subset C) significa
\forall x,\\ (x\in B \Rightarrow x\in C).
Para provar \bigcap \mathscr{X}\subset \bigcap \mathscr{A} basta tomar um elemento arbitrário de \bigcap \mathscr{X} e mostrar que ele pertence a \bigcap \mathscr{A} (isso é o chamado “element chasing”).

Passo 4

Começo o argumento elemento a elemento. Seja x um elemento arbitrário tal que
x\in \bigcap \mathscr{X}.
Pelo que disse na definição de interseção, isso significa que
\forall i\in I,\\ x\in X_i.

Passo 5

Agora uso a hipótese do enunciado: para cada i\in I temos \;X_i\subset A_i\;. A definição de \subset diz que, para cada i\in I,
x\in X_i \Longrightarrow x\in A_i.
Como sabemos que x\in X_i para todo i, aplicando essa implicação para cada i obtemos
\forall i\in I,\\ x\in A_i.

Passo 6

Pelo que foi definido da interseção da família \mathscr{A}, a afirmação anterior diz exatamente que
x\in \bigcap \mathscr{A}.
Portanto, mostramos que qualquer x arbitrário em \bigcap \mathscr{X} pertence também a \bigcap \mathscr{A}.

Passo 7

Como a escolha de x foi arbitrária, a implicação vale para todos os elementos de \bigcap \mathscr{X}. Logo, por definição de subconjunto,
\bigcap \mathscr{X}\subset \bigcap \mathscr{A}.

Passo 8

Para fixar a ideia, um exemplo rápido: tome I=\{1,2\}, X_1=\{1,2\}, A_1=\{1,2,3\}, X_2=\{2,3\}, A_2=\{2,3,4\}. Então
\bigcap \mathscr{X}=X_1\cap X_2=\{2\}, \qquad \bigcap \mathscr{A}=A_1\cap A_2=\{2,3\}\cap\{1,2,3\}=\{2\}.
Aqui a inclusão \bigcap \mathscr{X}\subset \bigcap \mathscr{A} vale (neste caso são até iguais). Em geral a interseção das X_i pode ser menor que a das A_i, mas nunca maior, por causa da hipótese X_i\subset A_i.

Resposta

\bigcap \mathscr{X} \subset \bigcap \mathscr{A}

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