Sejam
e
duas famílias de conjuntos indexamos em
, tais que
para todo
. Mostre que
.
Passo 1
O enunciado dá duas famílias de conjuntos indexadas pelo mesmo conjunto
:
-
; -
.
A hipótese é que, para todo
,
O que se pede é mostrar a inclusão entre as interseções das duas famílias, ou seja provar que
Passo 2
Vamos lembrar a definição de interseção de uma família de conjuntos (essa é a arma principal que vamos usar).
A interseção da família
é o conjunto de todos os elementos que pertencem a cada membro da família. Em notação:
Analogamente,
Passo 3
Também vamos lembrar a definição de subconjunto: dizer que um conjunto
é subconjunto de
(escrever
) significa
Para provar
basta tomar um elemento arbitrário de
e mostrar que ele pertence a
(isso é o chamado “element chasing”).
Passo 4
Começo o argumento elemento a elemento. Seja
um elemento arbitrário tal que
Pelo que disse na definição de interseção, isso significa que
Passo 5
Agora uso a hipótese do enunciado: para cada
temos
. A definição de
diz que, para cada
,
Como sabemos que
para todo
, aplicando essa implicação para cada
obtemos
Passo 6
Pelo que foi definido da interseção da família
, a afirmação anterior diz exatamente que
Portanto, mostramos que qualquer
arbitrário em
pertence também a
.
Passo 7
Como a escolha de
foi arbitrária, a implicação vale para todos os elementos de
. Logo, por definição de subconjunto,
Passo 8
Para fixar a ideia, um exemplo rápido: tome
,
,
,
,
. Então
Aqui a inclusão
vale (neste caso são até iguais). Em geral a interseção das
pode ser menor que a das
, mas nunca maior, por causa da hipótese
.