Sejam mathscr{X}=\left\{X_{i} \mid i \in I\right\} e \mathscr{A}=\left\{A_{i} \mid i \in I\right\} duas famílias de conjuntos indexamos em I, tais que X_{i} \subset A_{i} para todo i \in I. Mostre que
\bigcup \mathscr{X} \subset \bigcup \mathscr{A}.

Passo 1

O enunciado nos dá duas famílias de conjuntos indexadas pelo mesmo conjunto I:
  • \mathscr{X}=\{X_{i}\mid i\in I\},
  • \mathscr{A}=\{A_{i}\mid i\in I\}.
A informação importante é que, para todo i\in I,
X_{i}\subset A_{i}.
O que devemos mostrar é que a união de todos os X_{i} está contida na união de todos os A_{i}, isto é,
\bigcup_{i\in I} X_{i}\subset \bigcup_{i\in I} A_{i}.

Passo 2

Vamos lembrar as definições que vamos usar (calma, é simples e essencial).
  • Definição de união:
\bigcup_{i\in I} X_{i}=\{x\mid \exists i\in I\text{ tais que }x\in X_{i}\}.
Isto significa: um elemento pertence à união exatamente quando existe algum índice cuja componente o contém.
  • Definição de subconjunto: B\subset C significa que todo elemento de B também é elemento de C. Em forma lógica:
(\forall x)(x\in B\Rightarrow x\in C).
Estratégia de prova (técnica padrão): prova direta por “element chasing” — escolho um elemento arbitrário da união de \mathscr{X} e mostro que ele pertence à união de \mathscr{A}.

Passo 3

Início da prova direta. Seja um elemento arbitrário
x\in \bigcup_{i\in I} X_{i}.
Pela definição da união, isso significa que existe um índice j\in I tal que
x\in X_{j}.

Passo 4

Usamos agora a hipótese que vale para todo índice: como X_{j}\subset A_{j} (essa inclusão foi dada no enunciado e vale para esse j), a partir de x\in X_{j} segue imediatamente que
x\in A_{j}.

Passo 5

Voltando à definição de união, do fato x\in A_{j} para algum j\in I concluímos que
x\in \bigcup_{i\in I} A_{i}.
Como x foi um elemento arbitrário de \bigcup_{i\in I} X_{i} e demonstrámos que então x\in \bigcup_{i\in I} A_{i}, obtemos a inclusão desejada:
\bigcup_{i\in I} X_{i}\subset \bigcup_{i\in I} A_{i}.

Passo 6

Comentário final simples e intuitivo: cada conjunto X_{i} está “dentro” do respectivo A_{i}; ao juntar (unir) todos os X_{i} não se pode sair das uniões dos A_{i}. Se o índice I for vazio, ambas as uniões são o conjunto vazio e a inclusão também é verdadeira — a prova acima cobre esse caso sem problemas.

Resposta

\bigcup \mathscr{X} \subset \bigcup \mathscr{A}

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