Sejam
e
duas famílias de conjuntos indexamos em
, tais que
para todo
. Mostre que
.
Passo 1
O enunciado nos dá duas famílias de conjuntos indexadas pelo mesmo conjunto
:
-
, -
.
A informação importante é que, para todo
,
O que devemos mostrar é que a união de todos os
está contida na união de todos os
, isto é,
Passo 2
Vamos lembrar as definições que vamos usar (calma, é simples e essencial).
- Definição de união:
Isto significa: um elemento pertence à união exatamente quando existe algum índice cuja componente o contém.
- Definição de subconjunto:
significa que todo elemento de também é elemento de . Em forma lógica:
Estratégia de prova (técnica padrão): prova direta por “element chasing” — escolho um elemento arbitrário da união de
e mostro que ele pertence à união de
.
Passo 3
Início da prova direta. Seja um elemento arbitrário
Pela definição da união, isso significa que existe um índice
tal que
Passo 4
Usamos agora a hipótese que vale para todo índice: como
(essa inclusão foi dada no enunciado e vale para esse
), a partir de
segue imediatamente que
Passo 5
Voltando à definição de união, do fato
para algum
concluímos que
Como
foi um elemento arbitrário de
e demonstrámos que então
, obtemos a inclusão desejada:
Passo 6
Comentário final simples e intuitivo: cada conjunto
está “dentro” do respectivo
; ao juntar (unir) todos os
não se pode sair das uniões dos
. Se o índice
for vazio, ambas as uniões são o conjunto vazio e a inclusão também é verdadeira — a prova acima cobre esse caso sem problemas.