Problema 3.61. Ache todos os números naturais que quando divididos por 18 deixam resto 4 e quando divididos por 14 deixam resto 6 .
Passo 1
O problema pede todos os naturais
tais que
O conteúdo envolvido é teoria de congruências e, em particular, o Teorema Chinês do Resto (TCR) no caso de módulos não coprimos. Vamos resolver explicitando uma das congruências e substituindo na outra.
Passo 2
Da primeira congruência temos a parametrização
onde
é um inteiro. Substituímos esse
na segunda condição:
Passo 3
Simplificando a congruência
Como
, isto é
Note que
divide o termo
, logo há solução. Dividindo tudo por 2,
O inverso de
em
é
, pois
. Assim
ou seja
para algum
.
Passo 4
Voltando a
,
Como queremos
natural, basta tomar
.
Resposta
Todos os naturais que satisfazem as duas condições são