Problema 3.61. Ache todos os números naturais que quando divididos por 18 deixam resto 4 e quando divididos por 14 deixam resto 6 .

Passo 1

O problema pede todos os naturais n tais que
n equiv 4 pmod18, n equiv 6 pmod14
O conteúdo envolvido é teoria de congruências e, em particular, o Teorema Chinês do Resto (TCR) no caso de módulos não coprimos. Vamos resolver explicitando uma das congruências e substituindo na outra.

Passo 2

Da primeira congruência temos a parametrização
n = 18a + 4,
onde a é um inteiro. Substituímos esse n na segunda condição:
18a + 4 equiv 6 pmod14

Passo 3

Simplificando a congruência
18a + 4 equiv 6 pmod14 Longrightarrow 18a equiv 2 pmod14
Como 18equiv4pmod14, isto é
4a equiv 2 pmod14
Note que gcd(4,14)=2 divide o termo 2, logo há solução. Dividindo tudo por 2,
2a equiv 1 pmod7
O inverso de 2 em Z7 é 4, pois 2cdot4=8equiv1pmod7. Assim
a equiv 4 pmod7,
ou seja a = 4 + 7k para algum kinZ.

Passo 4

Voltando a n,
n = 18a + 4 = 18(4+7k) + 4 = 72 + 126k + 4 = 76 + 126k
Como queremos n natural, basta tomar k>=0.

Resposta

Todos os naturais que satisfazem as duas condições são
boxedn = 76 + 126k, k = 0,1,2,dots

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