Problema 3.30. Mostre que para todos
inteiro e
natural não nulos, os números
e
têm mesma paridade.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, dado um inteiro
e um natural
, os números
e
são ambos pares ou ambos ímpares, ou seja, têm a mesma paridade. Vamos usar a definição de paridade em termos de divisibilidade por
e fazer uma prova por casos (ou seja, “se
é par” e “se
é ímpar”).
Passo 2
Caso
seja par. Por definição existe
tal que
Então
Como
é inteiro, concluímos que
é divisível por
, isto é,
também é par. Logo, se
é par,
é par.
Passo 3
Caso
seja ímpar. Por definição existe
tal que
Então
é produto de um número ímpar de fatores (exatamente um fator
), e
é produto de
fatores ímpares. Sabe-se que o produto de números ímpares é ímpar, pois não há fator
em nenhum produto parcial. Alternativamente, pela fórmula de binômio de Newton, todos os termos da expansão de
exceto o último são múltiplos de
, restando
ou seja,
é ímpar. Logo, se
é ímpar,
é ímpar.
Resposta
Em ambos os casos –
par ou
ímpar – concluímos que
tem a mesma paridade de
. Portanto, para todo inteiro
e todo natural
,
e
têm exatamente a mesma paridade.