Problema 3.30. Mostre que para todos a inteiro e n natural não nulos, os números a e a^n têm mesma paridade.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dado um inteiro a e um natural n>=1, os números a e a^n são ambos pares ou ambos ímpares, ou seja, têm a mesma paridade. Vamos usar a definição de paridade em termos de divisibilidade por 2 e fazer uma prova por casos (ou seja, “se a é par” e “se a é ímpar”).

Passo 2

Caso a seja par. Por definição existe kinZ tal que
a = 2k
Então
a^n = (2k)^n = 2^n k^n = 2l(2^,n-1k^nr)
Como 2^,n-1k^n é inteiro, concluímos que a^n é divisível por 2, isto é, a^n também é par. Logo, se a é par, a^n é par.

Passo 3

Caso a seja ímpar. Por definição existe kinZ tal que
a = 2k + 1
Então a é produto de um número ímpar de fatores (exatamente um fator 2k+1), e
a^n = (2k+1)cdot(2k+1)cdots(2k+1)
é produto de n fatores ímpares. Sabe-se que o produto de números ímpares é ímpar, pois não há fator 2 em nenhum produto parcial. Alternativamente, pela fórmula de binômio de Newton, todos os termos da expansão de (2k+1)^n exceto o último são múltiplos de 2, restando
a^n equiv 1^n equiv 1 pmod2,
ou seja, a^n é ímpar. Logo, se a é ímpar, a^n é ímpar.

Resposta

Em ambos os casos – a par ou a ímpar – concluímos que a^n tem a mesma paridade de a. Portanto, para todo inteiro a e todo natural n>=1, a e a^n têm exatamente a mesma paridade.

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