Problema 3.31. Dado um número inteiro
e dados dois números naturais
e
, não nulos, mostre que são sempre pares os números
е
.
Passo 1
O enunciado fornece um inteiro
e dois naturais não nulos
e
. Pede para mostrar que tanto
quanto
são sempre pares. Vamos usar conceitos básicos de paridade e propriedades de potências.
Passo 2
Lembrando que um inteiro é par se pode ser escrito como
e ímpar se pode ser escrito como
.
- Se
for par, então existe tal que . Logo, para qualquer ,
que é par.
- Se
for ímpar, então existe tal que . Como produto de ímpares é ímpar, para todo vale
Em ambos os casos,
e
têm a mesma paridade (ou ambos pares, ou ambos ímpares).
Passo 3
Sabendo que dois inteiros de mesma paridade têm soma e diferença pares, concluímos logo que
e
são pares, pois ambas as expressões envolvem somente
e
, que acabamos de ver terem paridade igual.
Resposta
As expressões
e
são sempre pares.