Problema 3.31. Dado um número inteiro a e dados dois números naturais n e m, não nulos, mostre que são sempre pares os números a^n+a^m е a^n-a^m.

Passo 1

O enunciado fornece um inteiro a e dois naturais não nulos n e m. Pede para mostrar que tanto
a^n + a^m
quanto
a^n - a^m
são sempre pares. Vamos usar conceitos básicos de paridade e propriedades de potências.

Passo 2

Lembrando que um inteiro é par se pode ser escrito como 2k e ímpar se pode ser escrito como 2k+1.
  • Se a for par, então existe kin Z tal que a=2k. Logo, para qualquer rin N,
a^r = (2k)^r = 2l((2k)^r-1kr),
que é par.
  • Se a for ímpar, então existe kin Z tal que a=2k+1. Como produto de ímpares é ímpar, para todo rin N vale
a^r = (2k+1)^ré ímpar éí
Em ambos os casos, a^n e a^m têm a mesma paridade (ou ambos pares, ou ambos ímpares).

Passo 3

Sabendo que dois inteiros de mesma paridade têm soma e diferença pares, concluímos logo que
a^n + a^m
e
a^n - a^m
são pares, pois ambas as expressões envolvem somente a^n e a^m, que acabamos de ver terem paridade igual.

Resposta

As expressões a^n + a^m e a^n - a^m são sempre pares.

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