Problema 3.32. Qual é a paridade da soma dos números naturais de um a 10 ? E de seu produto?

Passo 1

O enunciado pede a paridade (se é par ou ímpar) da soma e do produto dos números naturais de 1 a 10. Vamos usar (1) a fórmula da soma de uma progressão aritmética e a definição de paridade (um número é par se for múltiplo de 2, caso contrário é ímpar) e (2) o fato de que se um produto contém pelo menos um fator 2, ele é par.

Passo 2

A soma dos termos de 1 a 10 é dada pela fórmula de progressão aritmética:
S = (a1 + an),n2
Aqui a1=1, an=10 e n=10. Então
S = (1 + 10)cdot102 = 11cdot102 = 55
Como 55 equiv 1 pmod2, concluímos que S é ímpar.

Passo 3

O produto dos termos de 1 a 10 é
P = prodk=1^10 k = 10!
Nesse produto aparece o fator 2 (e outros fatores pares), logo P é múltiplo de 2 e, portanto, par.

Resposta

A soma é ímpar.
O produto é par.

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