Problema 31.

Sejam os vetores \vec{u} e \vec{v} no plano, com as seguintes propriedades:
  • O ângulo entre \vec{u} e \vec{v} é \frac{\pi}{6} radianos;
  • Os módulos dos vetores são: |\vec{u}|=\sqrt{3} e |\vec{v}|=1.
Calcule o ângulo \alpha formado entre os vetores \vec{u}+\vec{v} e \vec{u}-\vec{v}.

Passo 1

O enunciado dá dois vetores \vec{u} e \vec{v} no plano tal que o ângulo entre eles é \tfrac{\pi}{6}, e os módulos são \lvert\vec{u}\rvert=\sqrt{3} e \lvert\vec{v}\rvert=1. Pede-se o ângulo \alpha entre \vec{u}+\vec{v} e \vec{u}-\vec{v}. Vamos usar o produto escalar e a relação
\cos(\alpha) =\frac{(\vec{u}+\vec{v})\cdot(\vec{u}-\vec{v})} {\lvert\vec{u}+\vec{v}\rvert\;\lvert\vec{u}-\vec{v}\rvert}\,.

Passo 2

Calculamos o numerador pela distributividade do produto escalar:
(\vec{u}+\vec{v})\cdot(\vec{u}-\vec{v}) =\vec{u}\cdot\vec{u}-\vec{u}\cdot\vec{v}+\vec{v}\cdot\vec{u}-\vec{v}\cdot\vec{v} =|\vec{u}|^2-|\vec{v}|^2 =3-1=2.

Passo 3

Agora os módulos. Primeiro,
\lvert\vec{u}+\vec{v}\rvert^2 =|\vec{u}|^2 + |\vec{v}|^2 + 2\,\vec{u}\cdot\vec{v} =3+1+2\bigl(\sqrt{3}\cdot1\cdot\cos\tfrac{\pi}{6}\bigr) =4+2\cdot\sqrt{3}\cdot\tfrac{\sqrt{3}}{2} =4+3=7,
logo \lvert\vec{u}+\vec{v}\rvert=\sqrt{7}. Em seguida,
\lvert\vec{u}-\vec{v}\rvert^2 =3+1-2\bigl(\sqrt{3}\cdot1\cdot\cos\tfrac{\pi}{6}\bigr) =4-3=1,
logo \lvert\vec{u}-\vec{v}\rvert=1.

Passo 4

Substituindo em \cos(\alpha):
\cos(\alpha) =\frac{2}{\sqrt{7}\,\cdot1} =\frac{2}{\sqrt{7}}.

Passo 5

Portanto,
\alpha = \operatorname{arccos}\!\bigl(\tfrac{2}{\sqrt{7}}\bigr).

Resposta

\displaystyle \alpha=\operatorname{arccos}\!\bigl(\tfrac{2}{\sqrt{7}}\bigr).

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