Problema 29.

Determine a equação do lugar geométrico dos pontos P(x, y) do plano tais que a distância de P ao ponto V(3,1) é igual à distância de P à reta:
x=-1 .

Passo 1

O enunciado pede o lugar geométrico dos pontos P(x,y) tais que a distância de P ao ponto foco V(3,1) é igual à distância de P à diretriz dada pela reta x=-1. O conteúdo aqui é a definição de parábola como o conjunto de pontos equidistantes de um foco e de uma reta (diretriz).

Passo 2

Escrevemos a condição de que a distância de P(x,y) até V(3,1) seja igual à distância de P à reta x=-1. A distância entre pontos é\r
d(P,V)=\sqrt{(x-3)^{2}+(y-1)^{2}}\r
e a distância de P à reta x=-1 é\r
d\bigl(P,\text{reta}\bigr)=\bigl|x-(-1)\bigr|=\lvert x+1\rvert.\r
Logo, impondo a definição de parábola:\r
\sqrt{(x-3)^{2}+(y-1)^{2}}=\lvert x+1\rvert.

Passo 3

Para eliminar o valor absoluto e a raiz, elevamos ambos os lados ao quadrado:\r
(x-3)^{2}+(y-1)^{2}=(x+1)^{2}.

Passo 4

Agora expandimos e simplificamos:\r
(x-3)^{2}+(y-1)^{2}=(x^{2}-6x+9)+(y^{2}-2y+1),\r
então\r
x^{2}-6x+9+y^{2}-2y+1=x^{2}+2x+1.\r
Cancelando x^{2} dos dois lados e rearranjando termos:\r
-6x-2x+y^{2}-2y+9+1-1=0
-8x+y^{2}-2y+9=0.

Passo 5

Completar o quadrado em y: escrevemos y^{2}-2y=(y-1)^{2}-1. Assim,\r
-8x+\bigl((y-1)^{2}-1\bigr)+9=0
(y-1)^{2}-8x+8=0
(y-1)^{2}=8x-8\r
e finalmente fatoramos:\r
(y-1)^{2}=8(x-1).

Resposta

A equação do lugar geométrico é \r
(y-1)^{2}=8(x-1).

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