Problema 28.

Identifique e determine os elementos da cônica cuja equação é dada por
3 x^{2}+2 y^{2}-12 x+8 y+19=0

Passo 1

O enunciado dá a equação
3x^{2}+2y^{2}-12x+8y+19=0
e pede para identificar que cônica é e determinar seus elementos (centro, eixos, vértices, focos, excêntricidade e diretrizes). Para isso vamos usar completar quadrados e a classificação via discriminante B^{2}-4AC.

Passo 2

Começamos completando quadrados em x e y:
3x^{2}-12x = 3\bigl(x^{2}-4x\bigr) =3\bigl((x-2)^{2}-4\bigr) =3(x-2)^{2}-12,
2y^{2}+8y = 2\bigl(y^{2}+4y\bigr) =2\bigl((y+2)^{2}-4\bigr) =2(y+2)^{2}-8.
Substituindo em 3x^{2}+2y^{2}-12x+8y+19=0 obtemos
3(x-2)^{2}-12 \;+\;2(y+2)^{2}-8\;+\;19=0 \quad\Longrightarrow\quad 3(x-2)^{2}+2(y+2)^{2}=1.

Passo 3

A forma
\frac{(x-2)^{2}}{\tfrac{1}{3}} +\frac{(y+2)^{2}}{\tfrac{1}{2}}=1
é de uma elipse com centro em
C=(2,\,-2),
semieixo maior a dado pela maior das denominações e semieixo menor b pela menor. Aqui
\frac{1}{2}>\frac{1}{3} \quad\Longrightarrow\quad a^{2}=\frac{1}{2},\quad b^{2}=\frac{1}{3},
logo
a=\sqrt{\tfrac12},\quad b=\sqrt{\tfrac13}.
O eixo maior é paralelo ao eixo y (já que a denominação maior está sob (y+2)^{2}).

Passo 4

Os vértices ficam a uma distância a do centro ao longo do eixo maior (vertical):
V_{1}=\bigl(2,\,-2+a\bigr) =(2,\,-2+\sqrt{\tfrac12}),\quad V_{2}=\bigl(2,\,-2-a\bigr) =(2,\,-2-\sqrt{\tfrac12}).
Os co-vértices ficam a uma distância b do centro ao longo do eixo menor (horizontal):
W_{1}=(2+b,\,-2)=(2+\sqrt{\tfrac13},\,-2),\quad W_{2}=(2-b,\,-2)=(2-\sqrt{\tfrac13},\,-2).

Passo 5

A excentricidade de uma elipse satisfaz
e = \sqrt{1-\frac{b^{2}}{a^{2}}} = \sqrt{1-\frac{\tfrac13}{\tfrac12}} = \sqrt{1-\tfrac{2}{3}} = \sqrt{\tfrac{1}{3}} = \frac{1}{\sqrt3}.
Os focos ficam simetricamente ao longo do eixo maior a uma distância c=a\,e do centro, com
c = \sqrt{\tfrac12}\,\frac{1}{\sqrt3} = \frac{1}{\sqrt6}.
Logo
F_{1}=\bigl(2,\,-2+c\bigr) =(2,\,-2+\tfrac{1}{\sqrt6}),\quad F_{2}=\bigl(2,\,-2-c\bigr) =(2,\,-2-\tfrac{1}{\sqrt6}).

Passo 6

As diretrizes de uma elipse vertical são as retas
y + 2 = \pm \frac{a}{e}
com
\frac{a}{e} = \frac{\sqrt{\tfrac12}}{1/\sqrt3} = \sqrt{\tfrac32}.
Portanto as equações são
y = -2 + \sqrt{\tfrac32} \quad\text{e}\quad y = -2 - \sqrt{\tfrac32}.

Resposta

Tipo de cônica: elipse.
Centro: C=(2,-2).
Semieixos: a=\sqrt{\tfrac12} (vertical), b=\sqrt{\tfrac13} (horizontal).
Vértices: (2,-2\pm\sqrt{\tfrac12}).
Co-vértices: (2\pm\sqrt{\tfrac13},-2).
Excentricidade: e=1/\sqrt3.
Focos: \bigl(2,-2\pm\tfrac1{\sqrt6}\bigr).
Diretrizes: y=-2\pm\sqrt{\tfrac32}.

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