Questão 1. Verifique se os limites abaixo existem e, em caso afirmativo, calcule-os.
(4 pts) \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x y{3}}{x{2}+y^{6}}$

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem que verificar se o limite lim (x, y) (0,0) x y^3x^2+y^6 existe. Esse tipo de problema está dentro do estudo de limites em funções de duas variáveis, que é parte do cálculo multivariável. Para resolver, a gente vai analisar como a função se comporta quando x e y se aproximam de 0.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar simplificar a expressão para entender melhor. A função que estamos analisando é x y^3x^2+y^6. Queremos ver o que acontece com essa fração quando x e y ficam cada vez menores, se aproximando de 0.

Passo 3

Uma boa estratégia é examinar o valor absoluto da função, porque se conseguimos mostrar que ele fica muito pequeno à medida que x e y se aproximam de 0, podemos concluir que o limite é 0. Então, vamos calcular:
| x y^3x^2+y^6 |

Passo 4

Observando o denominador x^2 + y^6, percebemos que ele é sempre positivo, já que é a soma de dois termos quadrados. Isso nos ajuda a garantir que não teremos divisão por zero, exceto exatamente em (0,0), que é o ponto que estamos analisando.

Passo 5

Agora, vamos estimar o numerador |x y^3|. Sabemos que |x y^3| <= |x| cdot |y|^3. Além disso, no denominador, x^2 + y^6 >= y^6, já que estamos somando um número positivo.

Passo 6

Com isso, podemos escrever:
| x y^3x^2+y^6 | <= |x| cdot |y|^3y^6 = |x||y|^3

Passo 7

Agora, para que o limite seja 0, precisamos que |x||y|^3 também se aproxime de 0. Se y se aproxima de 0 mais rápido que x, ou seja, se x é muito menor que y^3, essa fração realmente tende a 0.

Passo 8

Dessa forma, podemos concluir que, à medida que (x, y) se aproxima de (0,0), a função x y^3x^2+y^6 também se aproxima de 0.

Resposta

O limite existe e é igual a 0.

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