Questão 1. Verifique se os limites abaixo existem e, em caso afirmativo, calcule-os.
(4 pts) \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x{4}-y{4}}{\sqrt{x{2}+y{2}+1}-1}$

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente verificar se o limite lim (x, y) (0,0) x^4-y^4raizx^2+y^2+1-1 existe e, se existir, calcular ele. Esse tipo de questão faz parte do estudo de limites em funções de várias variáveis no cálculo. Para resolver, vamos precisar entender como manipular expressões com duas variáveis e possivelmente mudar para coordenadas polares pra facilitar a coisa toda.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão do denominador raizx^2+y^2+1-1. Isso pode parecer complicado, mas uma técnica útil aqui é multiplicar e dividir pela expressão conjugada para eliminar a raiz. Então, multiplicamos numerador e denominador por raizx^2+y^2+1+1:
x^4-y^4raizx^2+y^2+1-1 times raizx^2+y^2+1+1raizx^2+y^2+1+1 = (x^4-y^4)(raizx^2+y^2+1+1)(x^2+y^2+1) - 1

Passo 3

No denominador, (x^2+y^2+1) - 1 simplifica pra x^2 + y^2. Então a expressão fica:
(x^4-y^4)(raizx^2+y^2+1+1)x^2 + y^2
Agora, vamos olhar o numerador x^4 - y^4. Isso pode ser fatorado como (x^2)^2 - (y^2)^2 = (x^2 - y^2)(x^2 + y^2).

Passo 4

Substituindo isso na expressão, temos:
(x^2 - y^2)(x^2 + y^2)(raizx^2+y^2+1+1)x^2 + y^2 = (x^2 - y^2)(raizx^2+y^2+1+1)
Agora, simplificamos o x^2 + y^2 que estava no numerador e no denominador.

Passo 5

Para facilitar o cálculo do limite quando (x, y) (0,0), vamos mudar para coordenadas polares. Lembrando que x = rcostheta e y = rsintheta, onde r = raizx^2 + y^2 e r 0.
Substituindo na expressão:
(x^2 - y^2) = r^2(cos^2theta - sin^2theta) = r^2cos(2theta)
E:
raizx^2 + y^2 + 1 + 1 = raizr^2 + 1 + 1
Então, a expressão fica:
r^2cos(2theta) ( raizr^2 + 1 + 1 )

Passo 6

Agora, analisamos o comportamento quando r 0:
raizr^2 + 1 = 1 + r^22 + O(r^4)
Portanto:
raizr^2 + 1 + 1 approx 2 + r^22
Substituindo de volta:
r^2cos(2theta) ( 2 + r^22 ) = 2r^2cos(2theta) + r^42cos(2theta)

Passo 7

Quando r 0, os termos 2r^2cos(2theta) e r^42cos(2theta) também tendem a zero, já que r^2 e r^4 são bem pequenos.
Logo, o limite de toda a expressão é zero.

Resposta

O limite existe e é igual a 0.

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