Problema 37.

Obtenha as equações das retas tangentes à parábola, dada por
y^{2}=36 x
traçadas a partir do ponto A(2,9).

Passo 1

O enunciado dá a parábola
y^{2}=36x
e o ponto A(2,9). A tarefa é: encontrar as equações das retas tangentes à parábola que passam por A.
Informações relevantes fornecidas:
  • Equação da parábola: y^{2}=36x.
  • Ponto externo (onde as tangentes devem passar): A(2,9).
    O que nos pedem: escrever as equações das retas tangentes à parábola que passam por A.

Passo 2

Vamos construir a equação geral da reta tangente à parábola num ponto genérico da mesma, e depois impor que essa reta passe por A.
Primeiro, parametrizamos pontos da parábola. A forma y^{2}=36x é do tipo y^{2}=4ax com 4a=36, logo
a=9.
Uma parametrização padrão para y^{2}=4ax é
x=a t^{2},\qquad y=2a t,
onde t é o parâmetro. Substituindo a=9 obtemos que um ponto genérico da parábola pode ser escrito como
(x_{0},y_{0})=(9t^{2},\,18t).
Agora derivamos a equação da tangente no ponto (x_{0},y_{0}). Uma forma direta é usar a derivada:
2y\frac{dy}{dx}=36\quad\Rightarrow\quad \frac{dy}{dx}=\frac{18}{y}.
No ponto (x_{0},y_{0}) a inclinação da tangente é m=\dfrac{18}{y_{0}}. A equação ponto-inclinação da reta tangente é
y-y_{0}=m(x-x_{0}).
Multiplicando ambos os lados por y_{0} e usando y_{0}^{2}=36x_{0} para simplificar, chega-se (fazendo os passos) à forma paramétrica bem conhecida da tangente:
t\,y = x + 9t^{2}.
Essa é a equação da reta tangente à parábola em função do parâmetro t. (Também pode ser verificada substituindo x=9t^{2},y=18t.)

Passo 3

Impor que a tangente passe por A(2,9): substituímos x=2 e y=9 na equação t y = x + 9t^{2}:
t\cdot 9 = 2 + 9t^{2}.
Reescrevendo:
9t^{2}-9t+2=0.
Resolvemos essa equação quadrática. O discriminante é
\Delta = (-9)^{2}-4\cdot 9\cdot 2 =81-72=9.
Logo as raízes são
t=\frac{9\pm\sqrt{9}}{18}=\frac{9\pm 3}{18}.
Isso dá
t_{1}=\frac{12}{18}=\frac{2}{3},\qquad t_{2}=\frac{6}{18}=\frac{1}{3}.

Passo 4

Agora obtemos as equações das tangentes substituindo t_{1} e t_{2} em t y = x + 9t^{2}.
Para t=\dfrac{2}{3}:
\frac{2}{3}y = x + 9\left(\frac{2}{3}\right)^{2}=x+9\cdot\frac{4}{9}=x+4.
Multiplicando por 3:
2y = 3x + 12 \quad\Rightarrow\quad y=\frac{3}{2}x+6.
Para t=\dfrac{1}{3}:
\frac{1}{3}y = x + 9\left(\frac{1}{3}\right)^{2}=x+9\cdot\frac{1}{9}=x+1.
Multiplicando por 3:
y = 3x + 3.

Passo 5

(Verificação / pontos de contato) Podemos também encontrar os pontos de tangência na parábola correspondentes a cada t, para confirmar que cada reta realmente toca a parábola em um único ponto:
  • Para t=\dfrac{2}{3}: x_{0}=9t^{2}=9\cdot\frac{4}{9}=4, y_{0}=18t=18\cdot\frac{2}{3}=12. Ponto de contato (4,12).
  • Para t=\dfrac{1}{3}: x_{0}=9\cdot\frac{1}{9}=1, y_{0}=18\cdot\frac{1}{3}=6. Ponto de contato (1,6).
    Cada uma das retas encontradas passa por A(2,9) e por seu respectivo ponto de contato, portanto são as tangentes desejadas.

Resposta

y=\tfrac{3}{2}x+6
y=3x+3

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