Problema 37.
Obtenha as equações das retas tangentes à parábola, dada por
traçadas a partir do ponto
.
Passo 1
O enunciado dá a parábola
e o ponto
. A tarefa é: encontrar as equações das retas tangentes à parábola que passam por
.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- Equação da parábola:
. - Ponto externo (onde as tangentes devem passar):
.
O que nos pedem: escrever as equações das retas tangentes à parábola que passam por.
Passo 2
Vamos construir a equação geral da reta tangente à parábola num ponto genérico da mesma, e depois impor que essa reta passe por
.
Primeiro, parametrizamos pontos da parábola. A forma
é do tipo
com
, logo
Uma parametrização padrão para
é
onde
é o parâmetro. Substituindo
obtemos que um ponto genérico da parábola pode ser escrito como
Agora derivamos a equação da tangente no ponto
. Uma forma direta é usar a derivada:
No ponto
a inclinação da tangente é
. A equação ponto-inclinação da reta tangente é
Multiplicando ambos os lados por
e usando
para simplificar, chega-se (fazendo os passos) à forma paramétrica bem conhecida da tangente:
Essa é a equação da reta tangente à parábola em função do parâmetro
. (Também pode ser verificada substituindo
.)
Passo 3
Impor que a tangente passe por
: substituímos
e
na equação
:
Reescrevendo:
Resolvemos essa equação quadrática. O discriminante é
Logo as raízes são
Isso dá
Passo 4
Agora obtemos as equações das tangentes substituindo
e
em
.
Para
:
Multiplicando por
:
Para
:
Multiplicando por
:
Passo 5
(Verificação / pontos de contato) Podemos também encontrar os pontos de tangência na parábola correspondentes a cada
, para confirmar que cada reta realmente toca a parábola em um único ponto:
- Para
: , . Ponto de contato . - Para
: , . Ponto de contato .
Cada uma das retas encontradas passa pore por seu respectivo ponto de contato, portanto são as tangentes desejadas.