Exercício 16. (Apostol, capítulo 9.15, exercício 1,3,4)
Ache os valores extremos de
com a condição
Ache os valores extremos de
Passo 1
O enunciado pede para encontrar os extremos de
sob a restrição linear
onde
e
são constantes não nulas.
O conteúdo é otimização com restrição, que podemos atacar com multiplicadores de Lagrange.
O conteúdo é otimização com restrição, que podemos atacar com multiplicadores de Lagrange.
Passo 2
Definimos
Construímos a lagrangiana
Passo 3
As condições de primeira ordem são
Passo 4
Das duas primeiras equações obtemos
Substituindo na restrição
dá
Logo
Passo 5
Substituindo em
, temos
Como a função
cresce indefinidamente quando
escapa para o infinito ao longo da reta, não há valor máximo finito.
Resposta
O único extremo é um mínimo, localizado em
com valor mínimo
Não existe valor máximo finito de
sob a restrição dada.