Exercício 16. (Apostol, capítulo 9.15, exercício 1,3,4)
Ache os valores extremos de z=x^2+y^2 com a condição xa+yb=1

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os extremos de
z = x^2 + y^2
sob a restrição linear
xa + yb = 1,
onde a e b são constantes não nulas.
O conteúdo é otimização com restrição, que podemos atacar com multiplicadores de Lagrange.

Passo 2

Definimos
f(x,y) = x^2 + y^2, g(x,y) = xa + yb - 1 = 0
Construímos a lagrangiana
L(x,y,lambda) = f(x,y) - lambda,g(x,y) = x^2 + y^2 - lambdal(tfracxa + tfracyb - 1r)

Passo 3

As condições de primeira ordem são
partial Lpartial x = 2x - lambda,1a = 0, partial Lpartial y = 2y - lambda,1b = 0, partial Lpartial lambda = -l(tfracxa + tfracyb - 1r) = 0

Passo 4

Das duas primeiras equações obtemos
x = lambda2a, y = lambda2b
Substituindo na restrição tfracxa + tfracyb = 1
1al(tfraclambda2ar) + 1bl(tfraclambda2br) = 1 Longrightarrow lambda2l(tfrac1a^2 + tfrac1b^2r) = 1 Longrightarrow lambda = 2tfrac1a^2 + tfrac1b^2 = 2a^2b^2a^2 + b^2
Logo
x = lambda2a = a,b^2a^2 + b^2, y = lambda2b = a^2,ba^2 + b^2

Passo 5

Substituindo em z = x^2+y^2, temos
zmin = l(tfraca,b^2a^2+b^2r)^2 + l(tfraca^2,ba^2+b^2r)^2 = a^2b^2(a^2+b^2)^2l(b^2+a^2r) = a^2b^2a^2+b^2
Como a função x^2+y^2 cresce indefinidamente quando (x,y) escapa para o infinito ao longo da reta, não há valor máximo finito.

Resposta

O único extremo é um mínimo, localizado em
l(x,yr) = l(tfraca,b^2a^2+b^2,,tfraca^2,ba^2+b^2r),
com valor mínimo
zmin = a^2b^2a^2+b^2
Não existe valor máximo finito de z sob a restrição dada.

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