Determine a integral integral sec ^3 2 theta tg^5 2 theta d theta
Escolha uma opção:
114 sec ^7 2 theta-15 sec ^5 2 theta-13 sec ^3 2 theta+C
Nenhuma das demais alternativas
114 sec ^7 2 theta-15 sec ^5 2 theta+13 sec ^3 2 theta+C
114 sec ^7 2 theta+15 sec ^5 2 theta-16 sec ^3 2 theta+C
114 sec ^7 2 theta-15 sec ^5 2 theta+16 sec ^3 2 theta+C
114 sec ^7 2 theta+15 sec ^5 2 theta+16 sec ^3 2 theta+C

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede para calcular a integral de $ \sec^{3} 2\theta \cdot \tan^{5} 2\theta , d\theta $. Aqui, estamos lidando com funções trigonométricas, especificamente o cosseno hiperbólico e a tangente. Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de integração por substituição e manipulação de identidades trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão para facilitar a integração. Observamos que $ \tan^{5} 2\theta $ pode ser reescrita como $ \tan^{4} 2\theta \cdot \tan 2\theta $. Sabemos que $ \tan^{2} x = \sec^{2} x - 1 $, então podemos usar essa identidade para reescrever $ \tan^{4} 2\theta $:
tan^5 2theta

Passo 3

Expandindo $ (\sec^{2} 2\theta - 1)^{2} $, temos:
(sec^2 2theta - 1)^2
Agora, substituindo de volta na integral original:
sec^4 2theta - 2sec^2 2theta + 1

Passo 4

Vamos simplificar a expressão multiplicando os termos:
sec^3 2theta cdot sec^4 2theta = sec^7 2theta
sec^3 2theta cdot (-2sec^2 2theta) = -2sec^5 2theta
sec^3 2theta cdot 1 = sec^3 2theta
Então, nossa integral fica:
integral (sec^7 2theta - 2sec^5 2theta + sec^3 2theta) cdot tan 2theta , dtheta

Passo 5

Agora, vamos fazer uma substituição para facilitar a integração. Seja $ u = \sec 2\theta $. Então, a derivada de $ u $ em relação a $ \theta $ é:
u = sec 2theta
Ou seja,
u

Passo 6

Observando nossa integral, temos $ (\sec^{7} 2\theta - 2\sec^{5} 2\theta + \sec^{3} 2\theta) \cdot \tan 2\theta , d\theta $. Podemos reescrever isso em termos de $ u $:
(sec^7 2theta - 2sec^5 2theta + sec^3 2theta) cdot tan 2theta , dtheta

Passo 7

Agora, a integral está em termos de $ u $ e é mais simples de resolver:
u
Integrando termo a termo:
12 integral (u^6 - 2u^4 + u^2) , du

Passo 8

Agora, substituímos $ u = \sec 2\theta $ de volta na expressão:
u = sec 2theta
Simplificando os coeficientes:
12 ( sec^7 2theta7 - 2sec^5 2theta5 + sec^3 2theta3 ) + C

Resposta

A integral $ \int \sec^{3} 2\theta \tan^{5} 2\theta , d\theta $ é igual a:
integral sec^3 2theta tan^5 2theta , dtheta

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