Determine a integral
Escolha uma opção:
Nenhuma das demais alternativas
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Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede para calcular a integral de $ \sec^{3} 2\theta \cdot \tan^{5} 2\theta , d\theta $. Aqui, estamos lidando com funções trigonométricas, especificamente o cosseno hiperbólico e a tangente. Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de integração por substituição e manipulação de identidades trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão para facilitar a integração. Observamos que $ \tan^{5} 2\theta $ pode ser reescrita como $ \tan^{4} 2\theta \cdot \tan 2\theta $. Sabemos que $ \tan^{2} x = \sec^{2} x - 1 $, então podemos usar essa identidade para reescrever $ \tan^{4} 2\theta $:
Passo 3
Expandindo $ (\sec^{2} 2\theta - 1)^{2} $, temos:
Agora, substituindo de volta na integral original:
Passo 4
Vamos simplificar a expressão multiplicando os termos:
Então, nossa integral fica:
Passo 5
Agora, vamos fazer uma substituição para facilitar a integração. Seja $ u = \sec 2\theta $. Então, a derivada de $ u $ em relação a $ \theta $ é:
Ou seja,
Passo 6
Observando nossa integral, temos $ (\sec^{7} 2\theta - 2\sec^{5} 2\theta + \sec^{3} 2\theta) \cdot \tan 2\theta , d\theta $. Podemos reescrever isso em termos de $ u $:
Passo 7
Agora, a integral está em termos de $ u $ e é mais simples de resolver:
Integrando termo a termo:
Passo 8
Agora, substituímos $ u = \sec 2\theta $ de volta na expressão:
Simplificando os coeficientes:
Resposta
A integral $ \int \sec^{3} 2\theta \tan^{5} 2\theta , d\theta $ é igual a: