Problema 45 Calcular A e B de que Ax-2+Bx+2=4 x-3x^2-4.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os coeficientes A e B na decomposição em frações parciais
Ax-2 + Bx+2 = 4x-3x^2-4
O tema aqui é frações parciais: vamos multiplicar pelo denominador comum, comparar numeradores e resolver o sistema de equações que surge.

Passo 2

Multiplicamos ambos os lados por (x-2)(x+2) para eliminar os denominadores. Assim temos
A(x+2) + B(x-2) = 4x - 3

Passo 3

Expandindo e agrupando os termos na esquerda, obtemos
A x + 2A + B x - 2B = (A + B),x + (2A - 2B)
Logo a igualdade passa a ser
(A + B),x + (2A - 2B) = 4x - 3

Passo 4

Igualamos os coeficientes de x e os termos independentes, gerando o sistema
A + B = 4, 2A - 2B = -3

Passo 5

Para resolver, da primeira equação B = 4 - A. Substituindo na segunda:
2A - 2(4 - A) = -3 Rightarrow 2A - 8 + 2A = -3 Rightarrow 4A = 5 Rightarrow A = tfrac54
Então
B = 4 - A = 4 - tfrac54 = tfrac114

Resposta

A = tfrac54, B = tfrac114

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