Exercício 18. (Apostol, capítulo 9.15, exercício 5,9) Ache os valores extremos de
no plano
Passo 1
Temos a função
sujeita à restrição linear
O conteúdo é otimização com restrição e vamos usar o método dos multiplicadores de Lagrange para encontrar pontos críticos e, em seguida, identificar extremos.
Passo 2
Definimos a função de Lagrange
Para que
seja ponto crítico, devemos ter
Passo 3
Calculando as derivadas parciais, obtemos
Passo 4
Das três primeiras igualdades igualamos os dois primeiros termos a
e dividimos:
Analogamente, da divisão do primeiro pelo terceiro vem
Passo 5
Substituindo
e
na restrição
dá
Com isso,
Passo 6
Calculamos o valor de
nesse ponto:
Esse é um candidato a extremo. Nos vértices da região (quando alguma das variáveis é zero) temos
.
Passo 7
Para
, o ponto interior encontrado é máximo global (pois em todo o triângulo
,
, o valor de
tende a zero na fronteira). O mínimo global é
, atingido sempre que ao menos uma das variáveis for zero.
Resposta
O único ponto crítico interior é
com valor máximo
e valor mínimo
, obtido quando
ou
ou
, no caso
.