Exercício 18. (Apostol, capítulo 9.15, exercício 5,9) Ache os valores extremos de
f(x, y, z)=x^a y^b z^c no plano x+y+z=1

Passo 1

Temos a função
f(x,y,z)=x^ay^bz^c
sujeita à restrição linear
x+y+z=1
O conteúdo é otimização com restrição e vamos usar o método dos multiplicadores de Lagrange para encontrar pontos críticos e, em seguida, identificar extremos.

Passo 2

Definimos a função de Lagrange
L(x,y,z,lambda)=x^ay^bz^c-lambda,(x+y+z-1)
Para que (x,y,z) seja ponto crítico, devemos ter
partialLpartial x=0, partialLpartial y=0, partialLpartial z=0, partialLpartiallambda=0

Passo 3

Calculando as derivadas parciais, obtemos
partialLpartial x =a,x^a-1y^bz^c-lambda=0,
partialLpartial y =b,x^ay^b-1z^c-lambda=0,
partialLpartial z =c,x^ay^bz^c-1-lambda=0,
partialLpartial lambda =-(x+y+z-1)=0

Passo 4

Das três primeiras igualdades igualamos os dois primeiros termos a lambda e dividimos:
a,x^a-1y^bz^cb,x^ay^b-1z^c =lambdalambda implies ab,yx=1 implies y=ba,x
Analogamente, da divisão do primeiro pelo terceiro vem
ac,zx=1 implies z=ca,x

Passo 5

Substituindo y e z na restrição x+y+z=1
x + bax + cax = 1 Longrightarrow xl(1+ba+car)=1 Longrightarrow x=aa+b+c
Com isso,
y=ba+b+c, z=ca+b+c

Passo 6

Calculamos o valor de f nesse ponto:
fl(tfracaa+b+c,tfracba+b+c,tfracca+b+cr) =l(tfracaa+b+cr)^!a l(tfracba+b+cr)^!b l(tfracca+b+cr)^!c
Esse é um candidato a extremo. Nos vértices da região (quando alguma das variáveis é zero) temos f=0.

Passo 7

Para a,b,c>0, o ponto interior encontrado é máximo global (pois em todo o triângulo x,y,z>=0, x+y+z=1, o valor de f tende a zero na fronteira). O mínimo global é 0, atingido sempre que ao menos uma das variáveis for zero.

Resposta

O único ponto crítico interior é
l(x,y,zr) =l(tfracaa+b+c,,tfracba+b+c,,tfracca+b+cr),
com valor máximo
fmax =l(tfracaa+b+cr)^!a l(tfracba+b+cr)^!b l(tfracca+b+cr)^!c,
e valor mínimo fmin=0, obtido quando x=0 ou y=0 ou z=0, no caso a,b,c>0.

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