Problema 3.46. Sejam
um número inteiro qualquer e
um número primo. Mostre que uma das seguintes possibilidades acontece:
ou
.
Passo 1
Então, a gente tem um número inteiro qualquer, que chamamos de $ a $, e um número primo $ p $. A questão pede para mostrar que ou $ p $ divide $ a $ (ou seja, $ p \mid a $) ou o máximo divisor comum entre $ a $ e $ p $ é 1, ou seja, $ mdc(a, p) = 1 $. Para resolver isso, vamos usar conceitos de divisibilidade e propriedades dos números primos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa $ p $ ser primo. Um número primo é aquele que só é divisível por 1 e por ele mesmo. Então, se $ p $ divide $ a $, isso já é uma das possibilidades que precisamos mostrar.
Passo 3
Mas e se $ p $ não divide $ a $? Nesse caso, queremos mostrar que o máximo divisor comum entre $ a $ e $ p $ é 1. Para isso, vamos usar o fato de que se $ p $ não divide $ a $, então $ a $ e $ p $ não têm divisores em comum além de 1.
Passo 4
Vamos considerar duas possibilidades: ou $ p $ divide $ a $, ou não divide. Se $ p \mid a $, pronto, uma das condições está satisfeita. Se $ p \nmid a $, então, como $ p $ é primo e não divide $ a $, significa que $ a $ e $ p $ são coprimos, ou seja, $ mdc(a, p) = 1 $.
Passo 5
Para finalizar, a gente vê que sempre uma dessas duas situações ocorre: ou $ p $ divide $ a $, ou $ a $ e $ p $ não têm divisores comuns além de 1. Não tem outra opção.
Resposta
Portanto, mostramos que para qualquer inteiro $ a $ e número primo $ p $, ou $ p \mid a $ ou $ mdc(a, p) = 1 $.