Problema 3.58. De que maneiras podemos comprar selos de cinco e de sete reais, de modo a gastar cem reais?

Passo 1

Vamos resumir o problema: queremos descobrir de quantas maneiras podemos comprar selos que custam 5 e 7 reais, de modo que o total gasto seja 100 reais. Para resolver isso, vamos usar conceitos de equações lineares com duas variáveis, ou seja, encontrar combinações de quantidades desses selos que somem 100 reais.

Passo 2

Vamos chamar de $ x $ o número de selos de 5 reais e de $ y $ o número de selos de 7 reais. O gasto total é dado pela equação:
x

Passo 3

Nosso objetivo é encontrar valores inteiros não negativos para $ x $ e $ y $ que satisfaçam essa equação. Isso significa que precisamos encontrar pares $ (x, y) $ onde ambos são números inteiros maiores ou iguais a zero.

Passo 4

Vamos resolver a equação para $ x $:
x
Para que $ x $ seja inteiro, $ 100 - 7y $ deve ser divisível por 5. Isso implica que $ 7y $ deve deixar o mesmo resto que 100 quando dividido por 5.

Passo 5

Como $ 100 \div 5 = 20 $ com resto 0, e $ 7y \div 5 $ tem resto igual a $ (7 \mod 5) \times (y \mod 5) = 2y \mod 5 $, queremos que $ 2y \mod 5 = 0 $. Ou seja, $ y $ deve ser múltiplo de 5.

Passo 6

Assim, $ y $ pode ser 0, 5, 10, até o máximo valor que não faz $ x $ ser negativo. Vamos calcular os possíveis valores de $ y $:
y
Como $ y $ deve ser múltiplo de 5, os possíveis valores são 0, 5, 10.

Passo 7

Vamos calcular $ x $ para cada valor de $ y $:
  • Para $ y = 0 $:
x
  • Para $ y = 5 $:
y
  • Para $ y = 10 $:
y = 0

Resposta

As possíveis maneiras de comprar selos são:
  • 20 selos de cinco reais e 0 selos de sete reais
  • 13 selos de cinco reais e 5 selos de sete reais
  • 6 selos de cinco reais e 10 selos de sete reais

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