Problema 3.58. De que maneiras podemos comprar selos de cinco e de sete reais, de modo a gastar cem reais?
Passo 1
Vamos resumir o problema: queremos descobrir de quantas maneiras podemos comprar selos que custam 5 e 7 reais, de modo que o total gasto seja 100 reais. Para resolver isso, vamos usar conceitos de equações lineares com duas variáveis, ou seja, encontrar combinações de quantidades desses selos que somem 100 reais.
Passo 2
Vamos chamar de $ x $ o número de selos de 5 reais e de $ y $ o número de selos de 7 reais. O gasto total é dado pela equação:
Passo 3
Nosso objetivo é encontrar valores inteiros não negativos para $ x $ e $ y $ que satisfaçam essa equação. Isso significa que precisamos encontrar pares $ (x, y) $ onde ambos são números inteiros maiores ou iguais a zero.
Passo 4
Vamos resolver a equação para $ x $:
Para que $ x $ seja inteiro, $ 100 - 7y $ deve ser divisível por 5. Isso implica que $ 7y $ deve deixar o mesmo resto que 100 quando dividido por 5.
Passo 5
Como $ 100 \div 5 = 20 $ com resto 0, e $ 7y \div 5 $ tem resto igual a $ (7 \mod 5) \times (y \mod 5) = 2y \mod 5 $, queremos que $ 2y \mod 5 = 0 $. Ou seja, $ y $ deve ser múltiplo de 5.
Passo 6
Assim, $ y $ pode ser 0, 5, 10, até o máximo valor que não faz $ x $ ser negativo. Vamos calcular os possíveis valores de $ y $:
Como $ y $ deve ser múltiplo de 5, os possíveis valores são 0, 5, 10.
Passo 7
Vamos calcular $ x $ para cada valor de $ y $:
- Para $ y = 0 $:
- Para $ y = 5 $:
- Para $ y = 10 $:
Resposta
As possíveis maneiras de comprar selos são:
- 20 selos de cinco reais e 0 selos de sete reais
- 13 selos de cinco reais e 5 selos de sete reais
- 6 selos de cinco reais e 10 selos de sete reais