Seja f(x, y)=x^2 y+1. Encontre a equação de uma curva de nível de f que passa pelo ponto (1,2) e esboce essa curva.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=x^2y+1
e pede uma curva de nível que passa em (1,2). Curvas de nível são definidas por
f(x,y)=k
para alguma constante k. Aqui vamos achar k avaliando f no ponto dado.

Passo 2

Calcular o valor de k em (1,2):
k = f(1,2) = 1^2cdot2 + 1 = 2 + 1 = 3

Passo 3

A curva de nível desejada satisfaz
f(x,y)=3
ou seja
x^2y + 1 = 3
x^2y = 2
e, isolando y,
y = 2x^2, x neq 0

Passo 4

Esboço da curva y = 2/x^2:
  • Há dois ramos, um para x>0 e outro para x<0, simétricos em relação ao eixo y.
  • À medida que lvert xrvert to 0, yto +infty.
  • À medida que lvert xrvert to +infty, yto 0^+.
  • O ponto (1,2) (e também (-1,2)) pertence ao gráfico.

Resposta

A curva de nível que passa por (1,2) é
x^2y = 2 Long<=ftrightarrow y = 2x^2,
com esboço conforme descrito acima.

Exercícios relacionados