Questão.(
pts) Utilize o método dos coeficientes indeterminados para encontrar a solução geral da equação diferencial
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial não-homogênea de segunda ordem
O que se pede é a solução geral
dessa equação. Informações relevantes dadas:
Nada mais foi fornecido (condições iniciais), então devemos encontrar a família de soluções com constantes arbitrárias.
Passo 2
Primeiro encontramos a solução geral da equação homogênea associada (ou seja, sem o termo do lado direito). A equação homogênea é
Explicação do procedimento: procuramos soluções da forma
. Substituindo nessa forma obtemos a equação característica em
:
Agora resolvemos essa equação quadrática. Podemos fatorar:
Portanto as raízes são
e
.
Passo 3
Com duas raízes reais distintas
e
, a solução geral da homogênea é a combinação linear das exponenciais correspondentes:
onde
e
são constantes arbitrárias (ou seja, representam a família de todas as soluções da parte homogênea).
Passo 4
Agora buscamos uma solução particular
da equação completa usando o método dos coeficientes indeterminados. Ideia central (explicada): como o termo do lado direito é
, tentamos uma solução particular da mesma forma, isto é, um múltiplo de
. Antes de chutar a forma, verificamos se
está entre as soluções da homogênea (resonância). Como os expoentes da homogênea são
e
, o valor
não é raiz da equação característica, então não há ressonância — a tentativa simples funciona.
Logo fazemos a suposição (chute fundamentado):
onde
é uma constante a determinar. Observação do que significa cada símbolo:
é o coeficiente indeterminado que vamos calcular de modo que
satisfaça a equação diferencial.
Passo 5
Calculamos as derivadas de
explicitamente e substituímos na equação. Derivadas:
Substituindo em
temos:
Agora simplificamos termo a termo:
Esse resultado deve ser igual ao termo não-homogêneo
. Igualando os coeficientes de
obtemos a equação para
:
Portanto
Passo 6
Com
a solução particular é
Agora juntamos a solução homogênea com a particular para obter a solução geral da equação original:
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 7
Comentário pedagógico rápido (útil na prova): se o termo do lado direito fosse
ou
, haveria ressonância porque
e
são raízes da característica; nesse caso a tentativa para
precisaria ser multiplicada por
(por exemplo
se o termo fosse proporcional a
). Aqui não houve ressonância, então usamos simplesmente
.