{ }^{a} Questão.( \mathbf{2 , 5} pts) Utilize o método dos coeficientes indeterminados para encontrar a solução geral da equação diferencial
y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}-3 y=6 e^{2 t}
\begin{array}{rlrl} 4 K e^{2 t}-2 \cdot\left(2 K e^{2 t}\right)-3 \cdot\left(K e^{2 t}\right) & =6 e^{2 t} & -3 K & =6 \\ & -3 K e^{x} & =6 e^{2 t} & K \end{array}=-2

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial não-homogênea de segunda ordem
y''-2y'-3y=6e^{2t}.
O que se pede é a solução geral y(t) dessa equação. Informações relevantes dadas:
\text{termo não-homogêneo: }6e^{2t}.ãê
Nada mais foi fornecido (condições iniciais), então devemos encontrar a família de soluções com constantes arbitrárias.

Passo 2

Primeiro encontramos a solução geral da equação homogênea associada (ou seja, sem o termo do lado direito). A equação homogênea é
y''-2y'-3y=0.
Explicação do procedimento: procuramos soluções da forma y=e^{rt}. Substituindo nessa forma obtemos a equação característica em r:
r^{2}-2r-3=0.
Agora resolvemos essa equação quadrática. Podemos fatorar:
r^{2}-2r-3=(r-3)(r+1)=0.
Portanto as raízes são r=3 e r=-1.

Passo 3

Com duas raízes reais distintas r_{1}=3 e r_{2}=-1, a solução geral da homogênea é a combinação linear das exponenciais correspondentes:
y_{c}(t)=C_{1}e^{3t}+C_{2}e^{-t},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias (ou seja, representam a família de todas as soluções da parte homogênea).

Passo 4

Agora buscamos uma solução particular y_{p}(t) da equação completa usando o método dos coeficientes indeterminados. Ideia central (explicada): como o termo do lado direito é 6e^{2t}, tentamos uma solução particular da mesma forma, isto é, um múltiplo de e^{2t}. Antes de chutar a forma, verificamos se e^{2t} está entre as soluções da homogênea (resonância). Como os expoentes da homogênea são 3 e -1, o valor 2 não é raiz da equação característica, então não há ressonância — a tentativa simples funciona.
Logo fazemos a suposição (chute fundamentado):
y_{p}(t)=K e^{2t},
onde K é uma constante a determinar. Observação do que significa cada símbolo: K é o coeficiente indeterminado que vamos calcular de modo que y_p satisfaça a equação diferencial.

Passo 5

Calculamos as derivadas de y_{p} explicitamente e substituímos na equação. Derivadas:
y_{p}'(t)=2K e^{2t},
y_{p}''(t)=4K e^{2t}.
Substituindo em y''-2y'-3y temos:
y_{p}''-2y_{p}'-3y_{p}=(4K e^{2t})-2(2K e^{2t})-3(K e^{2t}).
Agora simplificamos termo a termo:
4K e^{2t}-4K e^{2t}-3K e^{2t}=(-3K)e^{2t}.
Esse resultado deve ser igual ao termo não-homogêneo 6e^{2t}. Igualando os coeficientes de e^{2t} obtemos a equação para K:
-3K=6.
Portanto
K=-2.

Passo 6

Com K=-2 a solução particular é
y_{p}(t)=-2e^{2t}.
Agora juntamos a solução homogênea com a particular para obter a solução geral da equação original:
y(t)=y_{c}(t)+y_{p}(t)=C_{1}e^{3t}+C_{2}e^{-t}-2e^{2t},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias.

Passo 7

Comentário pedagógico rápido (útil na prova): se o termo do lado direito fosse 6e^{3t} ou 6e^{-t}, haveria ressonância porque 3 e -1 são raízes da característica; nesse caso a tentativa para y_p precisaria ser multiplicada por t (por exemplo y_p(t)=At e^{3t} se o termo fosse proporcional a e^{3t}). Aqui não houve ressonância, então usamos simplesmente Ke^{2t}.

Resposta

y(t)=C_{1}e^{3t}+C_{2}e^{-t}-2e^{2t}

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