Problema 51 Sabendo que x^2-2 x+4x^3+x^2-2 x=Ax+Bx+2+Cx-1. Calcule A+B-2 C.

Passo 1

O enunciado dá a função racional
x^2-2x+4x^3+x^2-2x
e pede a decomposição em frações parciais
x^2-2x+4x(x+2)(x-1)=Ax+Bx+2+Cx-1
para então calcular A+B-2C. O conteúdo é decomposição em frações parciais e igualação de coeficientes.

Passo 2

Primeiro fatoramos o denominador:
x^3+x^2-2x = x,(x^2+x-2)=x,(x+2),(x-1)
Logo podemos escrever
x^2-2x+4x(x+2)(x-1) = Ax + Bx+2 + Cx-1

Passo 3

Multiplicamos ambos os lados por x(x+2)(x-1):
x^2-2x+4 = A,(x+2)(x-1) + B,x(x-1) + C,x(x+2)
Expandindo cada termo:
A(x^2+x-2) + B(x^2-x) + C(x^2+2x)
Somando os coeficientes de x^2, de x e o termo constante, obtemos o polinômio
(A+B+C),x^2 + (A - B + 2C),x + (-2A)
Comparando com x^2-2x+4, formamos o sistema
A + B + C = 1, A - B + 2C = -2, -2A = 4

Passo 4

Da terceira equação segue
A = -2
Substituindo em A + B + C = 1
-2 + B + C = 1Longrightarrow B + C = 3,
e em A - B + 2C = -2
-2 - B + 2C = -2Longrightarrow -B + 2C = 0Longrightarrow B = 2C
Então
2C + C = 3Longrightarrow C = 1,
e
B = 2cdot1 = 2
Portanto ,A=-2,;B=2,;C=1

Passo 5

Bastar calcular
A + B - 2C = -2 + 2 - 2cdot1 = -2

Resposta

-2

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