Problema 3.57. Para quais valores de c, onde c é inteiro, a equação 30 x+42 y=c admite soluções inteiras?

Passo 1

O enunciado pede todos os inteiros c para os quais a equação diofantina
30x + 42y = c
tem solução em inteiros x,y. O conteúdo necessário é o critério de existência de solução para equações lineares diofantinas: uma equação ax+by=c admite solução inteira se, e somente se, gcd(a,b) divide c.

Passo 2

Vamos calcular gcd(30,42) pelo algoritmo de Euclides:
42 = 30 cdot 1 + 12
30 = 12 cdot 2 + 6
12 = 6 cdot 2 + 0
Como o último resto não nulo é 6, temos gcd(30,42)=6.

Passo 3

Pela teoria das equações diofantinas, 30x+42y=c tem solução inteira sse
6 mid c

Resposta

Os valores inteiros de c são exatamente aqueles múltiplos de 6, ou seja,
c = 6k, kinZ

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