Diga quais são as equações diofantinas a seguir que possuem pelo menos uma solução:
7 x+14 v=77

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem uma equação diofantina, que é tipo uma equação onde procuramos soluções inteiras (números inteiros) para as variáveis. O enunciado é:
7x + 14v = 77
Aqui, estamos lidando com números inteiros, então precisamos ver se existe pelo menos um par de números inteiros x e v que satisfaça essa equação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para uma equação diofantina linear como essa ter solução, o máximo divisor comum (MDC) dos coeficientes das variáveis deve dividir o termo constante. No nosso caso, os coeficientes são 7 e 14, e o termo constante é 77.

Passo 3

Vamos calcular o MDC de 7 e 14. O MDC de 7 e 14 é 7, porque 7 é o maior número que divide ambos sem deixar resto.

Passo 4

Agora, vemos se esse MDC (que é 7) divide o termo constante, que é 77. Fazendo a divisão:
77 div 7 = 11
Como 7 divide 77 exatamente, sem deixar resto, isso confirma que a equação tem pelo menos uma solução inteira.

Resposta

Sim, a equação possui pelo menos uma solução.

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