Problema 3.60. Mostre que nenhum número pode deixar resto 5 quando dividido por 12 e resto 4 quando dividido por 15 .
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que não existe inteiro
que satisfaça simultaneamente
e
Aqui vamos usar o Teorema Chinês dos Restos e, em particular, a condição de existência de solução para um par de congruências.
Passo 2
A condição de compatibilidade para
diz que existe solução se, e somente se,
onde
é o máximo divisor comum de
e
.
Passo 3
Calculamos
Como
e
, o único fator em comum é
. Logo
Passo 4
Agora verificamos os restos dados nas congruências módulo
:
Como
, a condição
não é satisfeita, então não há solução para o sistema.
Resposta
Não existe inteiro que deixe resto
na divisão por
e resto
na divisão por
.