Problema 3.60. Mostre que nenhum número pode deixar resto 5 quando dividido por 12 e resto 4 quando dividido por 15 .

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que não existe inteiro x que satisfaça simultaneamente
xequiv5pmod12
e
xequiv4pmod15
Aqui vamos usar o Teorema Chinês dos Restos e, em particular, a condição de existência de solução para um par de congruências.

Passo 2

A condição de compatibilidade para
xequiv apmodn, xequiv bpmodm
diz que existe solução se, e somente se,
aequiv bpmodgcd(n,m),
onde gcd(n,m) é o máximo divisor comum de n e m.

Passo 3

Calculamos
gcd(12,15)
Como 12=2^2cdot3 e 15=3cdot5, o único fator em comum é 3. Logo
gcd(12,15)=3

Passo 4

Agora verificamos os restos dados nas congruências módulo 3:
5equiv2pmod3, 4equiv1pmod3
Como 2neq1, a condição 5equiv4pmod3 não é satisfeita, então não há solução para o sistema.

Resposta

Não existe inteiro que deixe resto 5 na divisão por 12 e resto 4 na divisão por 15.

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