Problema 1 (2,5pt) Um cilindro de raio a e comprimento L \gg a tem distribuição uniforme de carga \rho em todo seu volume. Determine:
a) Determine o campo elétrico gerado por esta distribuição de carga dentro e fora do cilindro (módulo, direção e sentido). Suponha \rho>0.
b) O campo elétrico é contínuo através da superfície do cilindro? Mostre.
c) O cilindro é feito de um material condutor ou isolante? Justifique.

Passo 1

O enunciado dá um cilindro de raio \,a, comprimento \,L\gg a, com densidade volumétrica de carga uniforme \,\rho em todo o volume do cilindro e pede três coisas:
  • (a) calcular o campo elétrico gerado por essa distribuição de carga, dentro ( r<a) e fora ( r>a) do cilindro: módulo, direção e sentido, supondo \rho>0;
  • (b) verificar se o campo elétrico é contínuo através da superfície lateral do cilindro ( r=a) e mostrar isso;
  • (c) dizer se o cilindro é feito de material condutor ou isolante e justificar.
Informações relevantes dadas:
  • Raio do cilindro: \,a.
  • Comprimento do cilindro: \,L, com \,L\gg a (isso permite desprezar efeitos de borda na região central e tratar como cilindro “muito longo” / aproximadamente infinito).
  • Densidade volumétrica de carga: \,\rho (constante) e \rho>0.

Passo 2

Intuição física e simetria: por simetria cilíndrica (distribuição uniforme e geometria coaxial), o campo elétrico no eixo central só pode depender da distância radial \,r ao eixo e deve apontar radialmente (ou seja, não há componente axial ou azimutal). Vou representar o versor radial por \,\hat r. Portanto podemos procurar um campo da forma
\mathbf{E}(r)=E(r)\,\hat r.
Para calcular E(r) vamos usar a Lei de Gauss na forma integral.

Passo 3

Lei de Gauss (forma integral) e o que significa cada termo:
\oint_{\partial V}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=\frac{Q_{\text{enc}}}{\varepsilon_0}.
Aqui:
  • \oint_{\partial V}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{A} é o fluxo do campo elétrico pela superfície fechada \partial V,
  • Q_{\text{enc}} é a carga total contida no volume V limitado por \partial V,
  • \varepsilon_0 é a constante de permissividade do vácuo.
    A Lei de Gauss é especialmente conveniente quando aproveitamos a simetria para escolher uma superfície gaussiana em que \mathbf{E} seja praticamente constante na superfície e perpendicular à mesma.

Passo 4

Escolha da superfície gaussiana: um cilindro coaxial de raio \,r e comprimento \,\ell (com \ell escolhido de modo que o cilindro gaussiano esteja bem dentro do cilindro físico, por exemplo \ell\ll L, para evitar efeitos das extremidades). Justificativa:
  • a superfície lateral do cilindro gaussiano tem vetor de área paralelo a \hat r, portanto \mathbf{E} é normal à superfície lateral e tem módulo constante sobre ela por simetria;
  • as tampas (discos) do cilindro gaussiano têm vetores de área na direção axial; como \mathbf{E} é puramente radial, a contribuição das tampas ao fluxo é zero.
    Logo só a superfície lateral contribui para o fluxo.

Passo 5

Caso 1: ponto interno ao cilindro, 0\le r<a.
  1. Fluxo pela superfície gaussiana (somente lateral):
\oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=E(r)\cdot(2\pi r\ell),
pois a área lateral vale 2\pi r\ell e \mathbf{E} é constante e paralelo a d\mathbf{A} ali.
  1. Carga envolvida dentro do raio r: a carga por unidade de volume é \rho, e o volume do cilindro de raio r e comprimento \ell é \pi r^2\ell. Então
Q_{\text{enc}}=\rho\cdot(\pi r^2\ell).
  1. Aplicando a Lei de Gauss:
E(r)\,(2\pi r\ell)=\frac{\rho\,\pi r^2\ell}{\varepsilon_0}.
  1. Simplificando (cortar \pi\ell e um r):
E(r)=\frac{\rho r}{2\varepsilon_0}.
Portanto o módulo do campo para r<a é \,E(r)=\dfrac{\rho r}{2\varepsilon_0}.

Passo 6

Expressão vetorial e sentido para r<a:
\mathbf{E}(r)=\frac{\rho r}{2\varepsilon_0}\,\hat r,\qquad (r<a).
Como \rho>0, o sentido é radial para fora (vetor \hat r aponta para fora). Observação física: perto do eixo ( r\to0) o campo cresce linearmente com r, e este resultado é análogo ao campo dentro de uma distribuição esférica uniforme, mas adaptado à simetria cilíndrica.

Passo 7

Caso 2: ponto externo ao cilindro, r>a.
  1. A carga total do cilindro de raio a e comprimento \ell (a mesma \ell usada para a superfície gaussiana) é
Q_{\text{enc}}=\rho\cdot(\pi a^2\ell).
  1. A área lateral da superfície gaussiana de raio r e comprimento \ell é 2\pi r\ell. Aplicando Gauss:
E(r)\,(2\pi r\ell)=\frac{\rho\,\pi a^2\ell}{\varepsilon_0}.
  1. Simplificando:
E(r)=\frac{\rho a^2}{2\varepsilon_0\,r}.
  1. Podemos definir a densidade linear de carga \lambda do cilindro como
\lambda=\rho\cdot(\pi a^2),
então a expressão fica na forma conhecida para um fio cilíndrico:
E(r)=\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0\,r}.
Expressão vetorial e sentido para r>a:
\mathbf{E}(r)=\frac{\rho a^2}{2\varepsilon_0\,r}\,\hat r =\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0\,r}\,\hat r,\qquad (r>a),
novamente, como \rho>0, o sentido é radial para fora.

Passo 8

Continuidade do campo através da superfície r=a (parte b).
Calcule os limites:
  • limite vindo de dentro ( r\to a^-):
E(a^-)=\frac{\rho a}{2\varepsilon_0}.
  • limite vindo de fora ( r\to a^+):
E(a^+)=\frac{\rho a^2}{2\varepsilon_0\,a}=\frac{\rho a}{2\varepsilon_0}.
Portanto E(a^-)=E(a^+), ou seja, o módulo do campo radial é igual dos dois lados da superfície lateral.
Do ponto de vista das condições de contorno da eletricidade estática: a descontinuidade da componente normal de \mathbf{E} através de uma superfície ideal é \sigma/\varepsilon_0, onde \sigma é densidade superficial de carga naquela superfície. Aqui não há carga de superfície localizada separada (a densidade volumétrica é uniforme até r=a e passa a zero fora; não existe uma lâmina de carga no próprio raio a além da distribuição volumétrica), então \sigma=0 e a componente normal de \mathbf{E} é contínua. Portanto o campo elétrico é contínuo através da superfície lateral do cilindro.

Passo 9

Condutor ou isolante? (parte c)
Em equilíbrio eletrostático, um condutor apresenta \mathbf{E}=0 no interior do material; as cargas livres se rearranjam e acumulam-se apenas na superfície, produzindo campo nulo no interior. No nosso caso encontramos \mathbf{E}(r)=\dfrac{\rho r}{2\varepsilon_0}\neq 0 para 0<r<a (salvo o ponto r=0), ou seja, existe campo elétrico dentro do volume do cilindro quando \rho\neq0. Isso mostra que as cargas não se moveram para a superfície — o que é compatível com um material isolante (onde cargas ficam presas no volume). Portanto o cilindro não é condutor; trata-se de um material isolante (ou, pelo menos, não está em equilíbrio como condutor). Conclusão: é isolante.

Passo 10

Resumo final dos resultados já obtidos (preparando a resposta final clara).

Resposta

(a) \displaystyle \mathbf{E}(r)=\frac{\rho r}{2\varepsilon_0}\,\hat r\quad (r<a);\qquad \displaystyle \mathbf{E}(r)=\frac{\rho a^2}{2\varepsilon_0\,r}\,\hat r=\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 r}\,\hat r\quad (r>a), direção radial, sentido para fora se \rho>0.
(b) Sim. O campo é contínuo em r=a porque E(a^-)=E(a^+)=\dfrac{\rho a}{2\varepsilon_0} (e não há carga superficial \sigma nessa lateral).
(c) Isolante. Justificativa: no interior há \mathbf{E}\neq0, logo não é um condutor em equilíbrio (num condutor eletrostático \mathbf{E}=0 no interior e as cargas estariam na superfície).

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