Problema 1 (2,5pt) Um cilindro de raio
e comprimento
tem distribuição uniforme de carga
em todo seu volume. Determine:
a) Determine o campo elétrico gerado por esta distribuição de carga dentro e fora do cilindro (módulo, direção e sentido). Suponha
.
b) O campo elétrico é contínuo através da superfície do cilindro? Mostre.
c) O cilindro é feito de um material condutor ou isolante? Justifique.
a) Determine o campo elétrico gerado por esta distribuição de carga dentro e fora do cilindro (módulo, direção e sentido). Suponha
b) O campo elétrico é contínuo através da superfície do cilindro? Mostre.
c) O cilindro é feito de um material condutor ou isolante? Justifique.
Passo 1
O enunciado dá um cilindro de raio
, comprimento
, com densidade volumétrica de carga uniforme
em todo o volume do cilindro e pede três coisas:
- (a) calcular o campo elétrico gerado por essa distribuição de carga, dentro (
) e fora ( ) do cilindro: módulo, direção e sentido, supondo ; - (b) verificar se o campo elétrico é contínuo através da superfície lateral do cilindro (
) e mostrar isso; - (c) dizer se o cilindro é feito de material condutor ou isolante e justificar.
Informações relevantes dadas:
- Raio do cilindro:
. - Comprimento do cilindro:
, com (isso permite desprezar efeitos de borda na região central e tratar como cilindro “muito longo” / aproximadamente infinito). - Densidade volumétrica de carga:
(constante) e .
Passo 2
Intuição física e simetria: por simetria cilíndrica (distribuição uniforme e geometria coaxial), o campo elétrico no eixo central só pode depender da distância radial
ao eixo e deve apontar radialmente (ou seja, não há componente axial ou azimutal). Vou representar o versor radial por
. Portanto podemos procurar um campo da forma
Para calcular
vamos usar a Lei de Gauss na forma integral.
Passo 3
Lei de Gauss (forma integral) e o que significa cada termo:
Aqui:
-
é o fluxo do campo elétrico pela superfície fechada , -
é a carga total contida no volume limitado por , -
é a constante de permissividade do vácuo.
A Lei de Gauss é especialmente conveniente quando aproveitamos a simetria para escolher uma superfície gaussiana em queseja praticamente constante na superfície e perpendicular à mesma.
Passo 4
Escolha da superfície gaussiana: um cilindro coaxial de raio
e comprimento
(com
escolhido de modo que o cilindro gaussiano esteja bem dentro do cilindro físico, por exemplo
, para evitar efeitos das extremidades). Justificativa:
- a superfície lateral do cilindro gaussiano tem vetor de área paralelo a
, portanto é normal à superfície lateral e tem módulo constante sobre ela por simetria; - as tampas (discos) do cilindro gaussiano têm vetores de área na direção axial; como
é puramente radial, a contribuição das tampas ao fluxo é zero.
Logo só a superfície lateral contribui para o fluxo.
Passo 5
Caso 1: ponto interno ao cilindro,
.
- Fluxo pela superfície gaussiana (somente lateral):
pois a área lateral vale
e
é constante e paralelo a
ali.
- Carga envolvida dentro do raio
: a carga por unidade de volume é , e o volume do cilindro de raio e comprimento é . Então
- Aplicando a Lei de Gauss:
- Simplificando (cortar
e um ):
Portanto o módulo do campo para
é
.
Passo 6
Expressão vetorial e sentido para
:
Como
, o sentido é radial para fora (vetor
aponta para fora). Observação física: perto do eixo (
) o campo cresce linearmente com
, e este resultado é análogo ao campo dentro de uma distribuição esférica uniforme, mas adaptado à simetria cilíndrica.
Passo 7
Caso 2: ponto externo ao cilindro,
.
- A carga total do cilindro de raio
e comprimento (a mesma usada para a superfície gaussiana) é
- A área lateral da superfície gaussiana de raio
e comprimento é . Aplicando Gauss:
- Simplificando:
- Podemos definir a densidade linear de carga
do cilindro como
então a expressão fica na forma conhecida para um fio cilíndrico:
Expressão vetorial e sentido para
:
novamente, como
, o sentido é radial para fora.
Passo 8
Continuidade do campo através da superfície
(parte b).
Calcule os limites:
- limite vindo de dentro (
):
- limite vindo de fora (
):
Portanto
, ou seja, o módulo do campo radial é igual dos dois lados da superfície lateral.
Do ponto de vista das condições de contorno da eletricidade estática: a descontinuidade da componente normal de
através de uma superfície ideal é
, onde
é densidade superficial de carga naquela superfície. Aqui não há carga de superfície localizada separada (a densidade volumétrica é uniforme até
e passa a zero fora; não existe uma lâmina de carga no próprio raio
além da distribuição volumétrica), então
e a componente normal de
é contínua. Portanto o campo elétrico é contínuo através da superfície lateral do cilindro.
Passo 9
Condutor ou isolante? (parte c)
Em equilíbrio eletrostático, um condutor apresenta
no interior do material; as cargas livres se rearranjam e acumulam-se apenas na superfície, produzindo campo nulo no interior. No nosso caso encontramos
para
(salvo o ponto
), ou seja, existe campo elétrico dentro do volume do cilindro quando
. Isso mostra que as cargas não se moveram para a superfície — o que é compatível com um material isolante (onde cargas ficam presas no volume). Portanto o cilindro não é condutor; trata-se de um material isolante (ou, pelo menos, não está em equilíbrio como condutor). Conclusão: é isolante.
Passo 10
Resumo final dos resultados já obtidos (preparando a resposta final clara).
Resposta
(a)
direção radial, sentido para fora se
.
(b) Sim. O campo é contínuo em
porque
(e não há carga superficial
nessa lateral).
(c) Isolante. Justificativa: no interior há
, logo não é um condutor em equilíbrio (num condutor eletrostático
no interior e as cargas estariam na superfície).