Problema 4 ( \mathbf{2 , 5} \mathbf{p t} ) Uma certa distribuição de carga no plano x \times y gera um potencial elétrico dado por
V(z)=\frac{\sigma}{2 \epsilon_{o}}\left(\sqrt{z^{2}+a^{2}}-|z|\right),
onde \sigma e a são constantes e z é a coordenada ao longo de um eixo ortogonal ao plano das cargas. Responda:
a) Calcule o campo elétrico (módulo, direção e sentido) em um ponto sobre o eixo z.
b) Obtenha uma expressão aproximada para o campo elétrico na região z \gg a. Interprete o seu resultado. Use (1+x)^{n} \approx 1+n \cdot x se x \ll 1.

Passo 1

O enunciado nos dá o potencial elétrico ao longo do eixo z:
V(z)=\frac{\sigma}{2\epsilon_{0}}\bigl(\sqrt{z^{2}+a^{2}}-|z|\bigr),
com \sigma e a constantes. As perguntas são:
  • (a) Calcular o campo elétrico em um ponto sobre o eixo z: módulo, direção e sentido.
  • (b) Obter uma expressão aproximada para o campo quando z\gg a e interpretar esse resultado.
Informações relevantes fornecidas:
  • Potencial depende só de z.
  • Aparece |z|, portanto é preciso tratar os lados z>0 e z<0 separadamente ao derivar.
  • Constantes: \sigma (densidade superficial) e a (comprimento com dimensões de comprimento).
  • A relação fundamental que será usada é a conexão entre potencial e campo: o campo aponta para -gradiente do potencial.

Passo 2

Lembrete rápido (mini-aula): como obter o campo a partir do potencial.
  • O campo elétrico vetorial \mathbf{E} é dado por
\mathbf{E}(\mathbf{r})=-\nabla V(\mathbf{r}).
  • Se V depende apenas de z, então \nabla V=\dfrac{dV}{dz}\,\hat{\mathbf{z}} e
\mathbf{E}(z)=-\frac{dV}{dz}\,\hat{\mathbf{z}}.
  • Então basta calcular a derivada ordinary dV/dz. Atenção: por causa de |z| é preciso derivar em dois ramos: z>0 (onde |z|=z) e z<0 (onde |z|=-z). Isso é padrão: a derivada de |z| é a função \operatorname{sgn}(z) (exceto em z=0 onde não é diferenciável), mas faremos explicitamente os dois lados.

Passo 3

Caso z>0. Aqui |z|=z. Primeiro calcule dV/dz.
  • A derivada de \sqrt{z^{2}+a^{2}} em relação a z é \dfrac{z}{\sqrt{z^{2}+a^{2}}} (regra da cadeia).
  • A derivada de -z é -1.
    Portanto, para z>0,
\frac{dV}{dz}=\frac{\sigma}{2\epsilon_{0}}\left(\frac{z}{\sqrt{z^{2}+a^{2}}}-1\right).
Aplicando \mathbf{E}=-\dfrac{dV}{dz}\,\hat{\mathbf{z}} obtemos, para z>0,
\mathbf{E}(z)=-\frac{dV}{dz}\,\hat{\mathbf{z}}=\frac{\sigma}{2\epsilon_{0}}\left(1-\frac{z}{\sqrt{z^{2}+a^{2}}}\right)\hat{\mathbf{z}}.
Observação de sentido: para \sigma>0 temos \sqrt{z^{2}+a^{2}}>z, logo 1-\dfrac{z}{\sqrt{z^{2}+a^{2}}}>0. Portanto \mathbf{E} aponta no sentido +\hat{\mathbf{z}} (ou seja, afastando-se do plano em z=0 para o lado positivo).

Passo 4

Caso z<0. Aqui |z|=-z. Calcule dV/dz:
  • Derivada de \sqrt{z^{2}+a^{2}} continua \dfrac{z}{\sqrt{z^{2}+a^{2}}}.
  • Derivada de +z (pois -|z| = -(-z)=+z dentro do potencial) é +1.
    Assim, para z<0,
\frac{dV}{dz}=\frac{\sigma}{2\epsilon_{0}}\left(\frac{z}{\sqrt{z^{2}+a^{2}}}+1\right).
Logo
\mathbf{E}(z)=-\frac{dV}{dz}\,\hat{\mathbf{z}}=-\frac{\sigma}{2\epsilon_{0}}\left(1+\frac{z}{\sqrt{z^{2}+a^{2}}}\right)\hat{\mathbf{z}}.
Para z<0 temos z<0 e \sqrt{z^{2}+a^{2}>|z|}, então 1+\dfrac{z}{\sqrt{z^{2}+a^{2}}}=1-\dfrac{|z|}{\sqrt{z^{2}+a^{2}}}>0. Como há sinal negativo na frente, \mathbf{E} aponta na direção -\hat{\mathbf{z}}, ou seja, novamente afastando-se do plano (simetria esperada).

Passo 5

Unificando as duas expressões em uma forma compacta usando |z|\): - A magnitude (valor absoluto da componente \(z\)) é \[\bigl|E(z)\bigr|=\frac{\sigma}{2\epsilon_{0}}\left(1-\frac{|z|}{\sqrt{z^{2}+a^{2}}}\right).
  • A direção é ao longo do eixo z; o sentido é para fora do plano z=0 (isto é, para +\hat{\mathbf{z}} se z>0 e para -\hat{\mathbf{z}} se z<0). Uma forma vetorial compacta é
\mathbf{E}(z)=\frac{\sigma}{2\epsilon_{0}}\left(1-\frac{|z|}{\sqrt{z^{2}+a^{2}}}\right)\operatorname{sgn}(z)\,\hat{\mathbf{z}},
onde (\operatorname{sgn}(z)= \begin{cases}+1,&z>0,\\\ -1,&z<0.\end{cases}]
Comentário físico curto: os limites laterais em z\to 0^\pm dão \mathbf{E}(0^+)=\dfrac{\sigma}{2\epsilon_{0}}\,\hat{\mathbf{z}} e \mathbf{E}(0^-)=-\dfrac{\sigma}{2\epsilon_{0}}\,\hat{\mathbf{z}}, de modo que o salto no campo atravessando o plano é \dfrac{\sigma}{\epsilon_{0}}, consistente com a presença de carga superficial local.

Passo 6

Agora a aproximação para z\gg a. Mini-aula sobre a expansão usada:
  • Para |x|\ll 1 vale (1+x)^{n}\approx 1+n x. Aqui usaremos essa expansão com x=\dfrac{a^{2}}{z^{2}}\ll 1.
  • Escrevemos
\sqrt{z^{2}+a^{2}}=|z|\sqrt{1+\frac{a^{2}}{z^{2}}}\approx |z|\left(1+\frac{1}{2}\frac{a^{2}}{z^{2}}\right).
  • Então
\frac{|z|}{\sqrt{z^{2}+a^{2}}}\approx\frac{|z|}{|z|\left(1+\dfrac{1}{2}\dfrac{a^{2}}{z^{2}}\right)}=\frac{1}{1+\dfrac{1}{2}\dfrac{a^{2}}{z^{2}}}\approx 1-\frac{1}{2}\frac{a^{2}}{z^{2}}.
  • Substituindo na expressão da magnitude do campo:
1-\frac{|z|}{\sqrt{z^{2}+a^{2}}}\approx 1-\left(1-\frac{1}{2}\frac{a^{2}}{z^{2}}\right)=\frac{1}{2}\frac{a^{2}}{z^{2}}.
  • Portanto, para z\gg a,
\bigl|E(z)\bigr|\approx\frac{\sigma}{2\epsilon_{0}}\cdot\frac{1}{2}\frac{a^{2}}{z^{2}}=\frac{\sigma a^{2}}{4\epsilon_{0} z^{2}}.
Incorporando o sentido (afastando-se do plano),
\mathbf{E}(z)\approx\frac{\sigma a^{2}}{4\epsilon_{0} z^{2}}\,\operatorname{sgn}(z)\,\hat{\mathbf{z}}\qquad (z\gg a).

Passo 7

Interpretação física da aproximação:
  • O comportamento \propto 1/z^{2} é o mesmo do campo elétrico gerado por uma carga pontual. De fato, a carga total do disco de raio a é Q=\pi a^{2}\sigma.
  • O campo de uma carga pontual Q sobre o eixo tem módulo E_{\text{pt}}=\dfrac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\dfrac{Q}{z^{2}}. Substituindo Q
E_{\text{pt}}=\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\frac{\pi a^{2}\sigma}{z^{2}}=\frac{\sigma a^{2}}{4\epsilon_{0} z^{2}},
que coincide com a aproximação encontrada. Conclusão: para z\gg a o disco parece, a distância, uma carga pontual de carga total Q=\pi a^{2}\sigma.

Resposta

(a) \displaystyle \mathbf{E}(z)=\frac{\sigma}{2\epsilon_{0}}\left(1-\frac{|z|}{\sqrt{z^{2}+a^{2}}}\right)\operatorname{sgn}(z)\,\hat{\mathbf{z}},\) onde \(\operatorname{sgn}(z)=\begin{cases}+1,&z>0,\\\ -1,&z<0.\end{cases}
(b) \displaystyle \mathbf{E}(z)\approx\frac{\sigma a^{2}}{4\epsilon_{0} z^{2}}\,\operatorname{sgn}(z)\,\hat{\mathbf{z}}\quad\text{para }z\gg a. Interpretação: para z\gg a o disco se comporta como uma carga pontual Q=\pi a^{2}\sigma, daí o decaimento \propto 1/z^{2}.

Exercícios relacionados